多元多项式插值的理论与算法研究

"这篇硕士学位论文主要探讨了多元多项式插值这一数值分析的重要主题，作者为陈玉洁，导师为谢端强，论文发表于2003年。论文集中研究了多元LaGrange插值法，介绍了现有方法并进行了评述。" 多元多项式插值是数学和计算机科学中的一个重要概念，特别是在数值分析和数据拟合中广泛使用。它涉及到在多个维度上找到一个多项式函数，这个函数能够经过给定的一组离散点，并且在这些点上的函数值与实际观测值一致。在多元情况下，插值问题比一元插值更为复杂，因为需要处理多变量的相互作用。 论文首先概述了多元多项式插值的各种方法，包括LaGrange插值法。LaGrange插值是一种基于拉格朗日乘子的插值技术，通过构建一组拉格朗日基多项式来形成满足插值条件的多项式。每个拉格朗日基多项式对应一个插值点，当输入值等于该点时，基多项式的值为1，其他点上为0。论文证明了在n维仿射空间中，满足LaGrange插值条件的多项式存在且唯一，且可以按"序"最低的多项式形式表达。 论文还引入了Groebner基理论来判断插值问题的适定性，即确定给定的节点集是否能够唯一确定一个多项式。Groebner基是一个强大的工具，常用于解决多项式方程组，这里被用来提供一种实用的适定性检验标准。 在算法实现方面，论文提出了通过求解插值基来构造LaGrange插值多项式的方法，并使用CoCoA编程语言进行了实现。这种方法被证明既简便又有效，适用于实际应用。 论文最后部分讨论了多元插值的稳定性问题，这是一个复杂但重要的课题，因为它直接影响到插值结果的准确性和计算的可靠性。作者通过具体例子初步探索了这个问题，并提出了相关的见解。 这篇论文深入研究了多元多项式插值的理论和实践，不仅提供了理论证明，还给出了算法实现，对于理解和发展多元插值方法具有重要价值。