第
卷第
期
年
月
辽宁师范大学学报
(
自然科学版
)
(
)
收稿日期
:
基金项目
:
国家自然科学基金项目
作者简介
:
崔利宏
男
吉林长春人
辽宁师范大学教授
博士
文章编号
:
(
)
doi
:
/
平 面 代 数 曲 线 的 二 元 多 项 式 插 值 问 题
崔利宏
,
杨一浓
,
王晓婉
辽宁师范大学 数学学院
辽宁 大连
摘
要
:
对二元多项式插值问题进行了研究与探讨
,
并把这个插值问题转化为代数几何
问题
通过引进
基的概念并使用代数几何中的基本定理
,
得到利用两个任意次代数曲
线横截相交的方法来构造平面代数曲线的插值适定结点组的新方法
,
从而将以往该研究
方向所得结果推广到了一般情形
在得到这些研 究结果的 同时
,
我们搞 清了二元 多项式
插值适定结点组的几何结构和基本特征
,
为多元多项式插值在工业产品外形设计和有限
元法中的实际应用提供了理论依据
关键词
:
适定结点组
;
代数曲线
;
基
;
二元多项式插值
中图分类号
:
文献标志码
:
多元函数插值与逼近是逼近论中的一个难点
但又有广泛的应用前景
比如在多元函数列表
计算
几何
有限元等诸多领域中有着广泛的应用
.
同时
曲线的插值和逼近也是计算几何中的一个重要研究
课题
它有着重要的理论意义和应用价值
.
在科学研究和工业产品外形设计中
通过测量获得一系列数
据点
然后用曲线去插值和逼近数据点
接着进行曲线 调节和误 差估计
最后在 电脑上获 得几何图 形
.
尽管这方面已经研究出很多有效的方法
如利用 多项式曲 线
三次埃 尔米特曲 线
贝齐尔 曲线
样条
曲线
三次代数曲线去插值和逼近等
但是仍有一些欠缺
比如如何保形值
光滑拼接
调节曲线以及减
小误差等
.
针对上述问题
提出了沿代数曲线插值的基本概念
使得研究人员只要能够适当地获得被逼
近曲线上的若干点
就能够得到满足给定条件的插值曲线
从而为 科研人员 进行曲线 设计提供 了一种
新的研究方法并且应用此方法可以有效地避免以往所给出的设计方法的不足
.
考虑二维实平面
的二元多项式插值问题
.
设
n
为非负整数且令
e
n
n
æ
è
ç
ö
ø
÷
P
n
表示所有全次
数不大于
n
的二元实系数多项式空间
.
用
P
表示所有二元实系数多项 式空间
易知
P
n
是
P
的子
空间
且有
P
n
n
n
e
n
.
定义
1
-
设
A
Q
{ }
i
e
n
i
是
相异的
e
n
个点
对于一个任意给定的实数组
f
{ }
i
e
n
i
寻找一个
多项式
p
x
y
P
n
使之满足如下插值条件
p
Q
i
f
i
i
e
n
.
如果对于每一个任意给定的实数组
f
{ }
i
e
n
i
方程组
总存在 唯一解
则称该 插 值 问 题 是 适 定 插 值 问
题
或称该插值问题是适定的
并称相应的插值结点组
A
Q
{ }
i
e
n
i
为关于 多项式空 间
P
n
的一个 插
值适定结点组
否则称相应的结点组是该插值问题的一个不适定结点组或称该插值问题对所给结点组