探索小波分析：历史、基础与应用

小波分析是一种强大的信号处理工具，它源于1910年Haar提出的小波标准正交基，但真正的小波分析概念是在1984年由法国地球物理学家Morlet在研究地震信号时提出的。他观察到短时傅里叶变换在处理非平稳信号时，由于时、频分辨率的矛盾，固定窗宽的方法并不适用，需要一种能自适应信号变化的分析方法，这就是小波分析的初衷。 1985年，Meyer构造的函数系（Meyer基）为小波分析奠定了基础，它为信号分析提供了更为灵活的工具。接着，1988年Mallat提出了多分辨分析的概念，这一理论提供了一种通用方法来构造正交分析小波，并发展出快速的小波分解和重构算法——Mallat算法，这极大地推动了小波分析的发展。同时，Daubechies的工作尤为关键，她构造了具有紧支撑和光滑性的Daubechies紧支正交小波，这种小波具有良好的数学特性，便于实际应用。 后续，小波分析领域不断扩展，产生了正交小波包、半正交小波、双正交小波和正交多小波等多种类型，它们广泛应用于信号分析、图像处理、数值分析、地震勘探、语音处理等领域。这些小波能够捕捉信号在不同尺度上的局部特征，对于解决时变信号的分析问题具有显著优势。 本章将深入探讨小波分析的基础内容，包括连续小波变换、二进正交小波变换、多分辨分析、Mallat算法、Daubechies紧支正交小波，以及这些技术在实际问题中的应用实例。连续小波变换的核心是母小波和分析小波，母小波是小波分析的基础，而分析小波则是通过对母小波进行尺度变换和平移操作生成的。这些理论和技术不仅提供了信号处理的新视角，也在许多工程技术中扮演了关键角色，促进了现代信息技术的进步。