小波分析基础：连续小波变换与基本小波类型

"小波时频分析-第6章连续小波变-孙延奎" 本文主要探讨了小波分析中的一个重要概念——连续小波变换，由清华大学计算机系的孙延奎教授在2005年春季的课程中讲解。小波分析是一种能够在时间和频率上同时提供局部信息的分析工具，特别适用于非平稳信号的研究。以下是关于小波及连续小波变换的详细阐述： 小波及连续小波变换： 1. 基本小波或母小波：一个满足特定条件的函数，例如其傅里叶变换在原点为零，且积分等于1。函数通常具有有限支撑，这使得它可以在时域和频域中同时进行定位。 2. (连续)小波函数：通过调整参数a和b，可以生成一族小波，其中a代表尺度，b代表平移。这样的函数能够以不同的尺度和位置对信号进行分析。 3. 连续小波变换（Continuous Wavelet Transform, CWT）：定义为原信号f(t)与小波基函数ψ(t)的卷积，再乘以尺度a的倒数，表示为WT(f,a,b)。这个变换提供了信号在不同尺度和时间点上的信息。 4. 性质：连续小波变换具有线性性质和平移不变性，这意味着小波变换对于线性操作和时间平移保持不变。 允许小波与允许条件： 1. 允许小波是指满足特定条件的小波函数，这些条件保证了小波变换的可逆性，即可以通过连续小波逆变换恢复原始信号。 2. 允许条件通常与小波函数的傅里叶变换在原点的值有关，当傅里叶变换在原点为零时，几乎等价于允许条件。 常用的基本小波： 1. Haar小波：最简单的小波，具有离散的阶跃形状，便于理解和计算。 2. Daubechies小波：是一类具有较平滑特性的小波，如D4和D6，它们在频域和时域都有更好的局部化特性。 3. 双正交小波：如bior2.2, bior4.4和(7-5)小波滤波器，它们在正交性和重构精度方面有优秀表现，常用于图像处理和信号滤波。 小波分析的应用广泛，包括声音和图像处理、故障诊断、金融数据分析等领域。通过选择适当的小波基函数和参数，可以有效地捕捉信号的局部特征，从而实现对复杂信号的精确分析和理解。