集合论与图论解题精要：包含关键概念与实例

本资源主要涵盖了集合论与图论中的八个问题及其解答，涉及集合操作、映射、图的性质和构造等多个知识点。以下是详细解析： 1. 集合论部分： - 第一个问题要求找到集合A和B的对称差集(A Δ B)。对称差集定义为两个集合的并集减去它们的交集，即A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)。具体到这道题目中，由于题目没有给出A和B的具体元素，答案依赖于A和B的元素构成。 2. 图论基础： - 对于第二题，给出了两个集合A和B，需要求解从A到B的满射函数的数量。满射意味着每个B中的元素都有一个对应的A中的元素。给定A有4个元素，B有2个元素，满射数量为A到B的不同映射方式数，即4的阶乘除以2的阶乘，因为B的两个元素可以对应A的任意两个元素。 3. 无关系和无向图： - 第三个问题要求计算集合A上的反自反二元关系的数量。反自反关系是指没有自环的二元关系，而A中有10个元素，每个元素与其他9个元素形成关系，但不包括自身，所以总数为2^90，再除以2（因为每个关系可以是存在或不存在），得到结果。 4. 无向图的构造： - 第四个问题是关于无向图的构建，给定顶点集V和边数p*q，当1 ≤ q ≤ p^2/2且q满足条件(1/p + 1/q - 1) < 0时，可以构成无向图。这是一个关于图的连通性和度数的约束条件。 5. 正则二元树： - 第五个问题针对正则二元树，当树有奇数个顶点P时，叶子数（度数为1的节点数）等于P+1。这是二元树的一个基本性质，每个非叶子节点恰好有两个子节点，而根节点没有子节点。 6. 欧拉图的判定： - 第六个问题探讨了何时欧拉图Kmn会有欧拉路径，即所有顶点的度数都是偶数。对于连通无向图，如果所有顶点的度数都是偶数，那么它有一个欧拉路径。因此，当m和n之和为偶数时，Kmn是欧拉图。 7. 生成树和边通图： - 第七个问题是关于无向图的生成树。如果图G是边通图（每个顶点都恰好与其它所有顶点相连），那么最少需要3个生成树来覆盖所有的边，因为即使是最少的生成树也包含所有顶点。 8. 平面连通图的关系： - 最后一个问题涉及平面连通图的顶点数p和边数q的关系，即q ≤ 3(p - 6)。这是平面图的特性，平面图中的每个面至少有3条边，所以总边数不能超过3倍的顶点数减去6（因为除去边界，内部的面会贡献出3条边，而边数包括了边界）。 这些题目涵盖了集合论中的对称差、图论中的满射、无关系的数量、无向图的构造规则、二元树的性质、欧拉图的判定、生成树的数量以及平面图的特征等核心概念，适合用于教学或复习图论和集合论的基础知识。