探求大Carmichael数的高效算法与超大数值发现

本文主要探讨了一种探求大Carmichael数的方法，Carmichael数是一种特殊的奇合数，它满足一个独特的性质：对于任何与之互质的整数a，都有a^(m-1) ≡ 1 (mod m)。这种数在数论中具有重要意义，尽管至今尚未证明存在无穷多的Carmichael数，但已知存在一些较大的例子。 论文首先定义了Carmichael数的两个必要条件： 1. m可以表示为不同奇素数的乘积（类似RSA加密算法中的素数分解）； 2. m除以这些素数的阶数（即Pi-1的最小公倍数）余1。 作者提出的方法旨在寻找具有众多素因子的Carmichael数。具体步骤如下： 1. 选择一个适当整数L，通常是第四个素数，使得L的一半L/2具有尽可能多的因子，同时保持L的大小不会显著增加，这符合Ramanujan高度合数的特性。 2. 遍历L/2的所有因子d，检查相应的2d+1是否为素数。如果q=2d+1是素数并且满足条件，将其加入集合S。 3. 将集合S中的素数按顺序排列，并将其分成两个子集81和82，子集的数量和大小根据一定的规则确定，如取值范围四/3~t≤2。 4. 对于每个子集T，如果它包含a-t-1个素数，计算特定的同余式f和g，这些同余式的处理可能是寻找符合条件的Carmichael数的关键步骤。 值得注意的是，本文的方法激发了其他研究者的工作。在论文发布后不久，Pomerance等人利用这种方法的启示，证明了不超过X的Carmichael数的个数上限为X^2/7，这是一个重要的理论进展，有助于我们更好地理解和估计Carmichael数的分布。 这篇论文不仅提供了一个寻找大Carmichael数的有效算法，还对数论领域的Carmichael数问题做出了实质性的贡献。通过这种方法，研究人员得以发现并确认了一些超过108300的Carmichael数，这对于进一步探索这类特殊数的性质和潜在应用具有重要意义。