图数据结构与AOE网：应用、最短路径与拓扑排序

"这篇内容主要讨论了图论在AOE-网中的应用，特别是如何利用图来解决工程进度和关键活动的问题。同时，涵盖了图的基本概念、存储结构、遍历方法、生成树、最短路径以及拓扑排序等重要概念。" 在AOE-网（Activity On Edge Network）中，我们可以通过分析图的结构来研究以下几个核心问题： 1. **完成整项工程至少需要多少时间**：这是通过寻找AOE网中最长路径，即关键路径来解决的。关键路径是网络中决定项目最早完成时间的路径，路径上的所有活动必须按时完成，否则整个项目的完成时间将会被推迟。关键路径的计算涉及到拓扑排序和最短路径算法，如Dijkstra算法或Bellman-Ford算法。 2. **哪些活动是影响工程进度的关键**：关键活动是指那些位于关键路径上的活动。这些活动的延迟会直接影响整个工程的完工时间。找出关键活动有助于项目管理者识别风险并优先处理。 图论是解决这些问题的基础，其中涉及以下关键概念： - **图的定义和术语**：图由顶点集V和边集E组成，分为有向图和无向图。有向图的边是有方向的，而无向图的边没有方向。每个顶点的度表示与其相连的边的数量，有向图中分为入度和出度。 - **图的存储结构**：常见的图存储结构有邻接矩阵和邻接表。邻接矩阵适合表示稠密图，邻接表适合表示稀疏图，能节省空间。 - **图的遍历**：包括深度优先搜索(DFS)和广度优先搜索(BFS)，用于访问图的所有顶点。DFS常用于找图的强连通分量，BFS则用于找到最短路径或进行拓扑排序。 - **生成树**：在无环图中，可以从图中选择一部分边，形成一个新的树形结构，这个新的树覆盖了原图的所有顶点，这样的树称为原图的生成树。生成树的边和顶点总数分别等于原图的边数和顶点数减一。 - **最短路径**：在带权图中，寻找从源点到其他所有顶点的最短路径，Dijkstra算法和Bellman-Ford算法是常用的方法。 - **拓扑排序**：对有向无环图(DAG)进行排序，使得对于每一条有向边(u, v)，u都在v之前。拓扑排序常用于解决项目安排和依赖关系等问题。 通过理解和应用这些图论概念，我们可以有效地解决AOE-网中的问题，优化工程管理，提高效率。