图的理论与应用：从稀疏图到最短路径

"该资源是一份关于图论的课件，涵盖了图的定义、术语、存储结构、遍历、连通性问题、有向无环图(DAG)的应用以及最短路径等内容。主要讨论了稀疏图和稠密图的概念，并提到了子图的定义。在图的类型中，讲解了有向图、无向图和完全图的特征，通过实例分析了如何区分不同类型的图。" 在计算机科学中，图是一种数据结构，由顶点（Vertex）和边（Edge）构成，用于表示对象之间的关系。图G可以用G=(V,E)表示，其中V是顶点集合，E是边集合。图可以分为两类：有向图和无向图。有向图中的边是有方向的，例如边<v,w>表示从顶点v到顶点w的方向；而无向图的边没有特定方向，如边(v,w)。 稀疏图是指边数远小于顶点数平方的图，通常边数小于nlogn，这在实际应用中很常见，因为很多关系不是互相连接的。相反，稠密图则表示边数接近于顶点数的平方，对于无向图来说，边数接近n(n-1)/2，有向图中接近n(n-1)。 子图是图的一个特例，如果一个图G'的顶点和边都包含在另一个图G中，那么G'是G的子图。子图可能不包含G的所有顶点或边，但必须保持原图的结构。 图的存储结构主要有两种：邻接矩阵和邻接表。邻接矩阵是一个二维数组，用来表示图中任意两个顶点之间是否存在边；邻接表则是为每个顶点维护一个边的链表，更适合于稀疏图，因为它节省空间。 图的遍历包括深度优先搜索(DFS)和广度优先搜索(BFS)，它们用于访问图中所有顶点，DFS常使用递归实现，BFS则借助队列进行。 连通性问题是图论中的重要概念，图的连通性指的是是否存在一条路径使得任意两个顶点都可以相互到达。无向图的连通分量表示图中最小子图，其中任意两点间都有路径；有向图的强连通分量是任何两个顶点之间都有双向路径的子图。 有向无环图（DAG）在很多应用中至关重要，如任务调度、拓扑排序等。DAG中不存在形成环的边，这使得它们具有独特的性质。 最短路径问题寻找的是在图中两个顶点之间具有最小权重的路径，迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法是解决这一问题的常用方法。 这份课件全面地介绍了图的基本概念和相关操作，对于理解和处理涉及图的算法和问题有着重要的指导价值。