非结构化网格中导热方程的数值解与精确解对比

"导热方程在不同网格中的数值解和精确解，商立英，张敏，卢学山，许彬，南京理工大学动力工程学院，中国一航第一飞机设计研究院" 本文主要探讨了在非结构化网格中利用基元有限容积方法求解热传导方程的问题。导热方程是描述热能传播的基础方程，通常用于稳态的热扩散问题。在实际应用中，由于复杂的几何形状和边界条件，往往需要在非结构化网格上进行数值模拟。 作者们提出了一种基于二阶迎风格式的离散方法来解决稳态导热问题。这种格式能够在保持稳定性的前提下提高计算精度。他们在验证求解方法时，同时考虑了结构化网格和非结构化网格，通过与已知的精确解进行对比，来评估数值解的准确性。 在介绍中，作者提到了过去几十年中，有限容积法和有限元法在解决复杂扩散问题上的发展，尤其是在结构化网格中的应用。随着技术进步，这些方法已经被扩展到适应复杂几何形状的适体网格和非结构化网格中。本文的重点在于展示非结构化网格在求解导热方程中的性能。 控制方程即导热方程在稳态条件下可以写作： \[ \frac{\partial \phi}{\partial t} = \nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi) + S \] 其中，\( \phi \) 是物理变量，\( S \) 是单位体积内的源项，\( \Gamma \) 是扩散系数。在非结构化网格中，方程会离散为： \[ \sum_{nb} p_i V D_{ij} = S_p \] 这里的 \( D_{ij} \) 表示扩散项，它可以分解为基本扩散项 \( p_i D_i \) 和二次扩散项 \( s_i D_i \)，两者分别对应于界面的法向和切向扩散。法向扩散项由交界面上的法向导数决定，而切向扩散项则涉及到交界面上的平均导数。 公式（1.4a）和（1.4b）展示了扩散项的详细表达式，它们是通过微分运算和面积元素积分得到的。这种方法能够有效地处理非结构化网格上的边界条件，从而获得更准确的数值解。 文章详细介绍了如何在非结构化网格上离散和求解导热方程，以及如何通过比较数值解和精确解来验证求解方法的可靠性。这对于理解和优化在复杂几何形状中的热流分析具有重要的理论和实践价值。