一维非稳态导热方程matlab

一维非稳态导热方程可以表示为:

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

其中，$u(x,t)$为温度场，$\alpha$为热扩散系数。

可以使用有限差分法对该方程进行数值求解。假设网格大小为 $\Delta x$ 和 $\Delta t$，则可以用以下的差分格式来逼近方程：

$$\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t} = \alpha \frac{u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n}{\Delta x^2}$$

其中，$n$表示时间步，$i$表示空间步。将该式重写为 $u_i^{n+1}$ 的形式，得到：

$$u_i^{n+1} = u_i^n + \frac{\alpha\Delta t}{\Delta x^2}(u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n)$$

这是一个递推式，可以用循环的方式进行求解。具体实现可以参考以下 MATLAB 代码：

% 定义参数
L = 1;      % 区域长度
T = 1;      % 总时间
alpha = 1;  % 热扩散系数

% 网格参数
dx = 0.01;  % 空间步长
dt = 0.001; % 时间步长
Nx = L/dx;  % 空间步数
Nt = T/dt;  % 时间步数

% 初始化温度场
u = zeros(Nx+1, Nt+1);
u(:,1) = sin(pi*(0:Nx)/Nx);

% 使用差分递推求解
for n = 1:Nt
    for i = 2:Nx
        u(i,n+1) = u(i,n) + alpha*dt/dx^2*(u(i+1,n)-2*u(i,n)+u(i-1,n));
    end
end

% 绘制温度分布图
[x,t] = meshgrid(0:dx:L, 0:dt:T);
surf(x, t, u');
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('u');

在上述代码中，我们使用了 $\sin(\pi x/L)$ 作为初始温度场，并在 $x=0$ 和 $x=L$ 处设置了固定的边界条件。运行该代码可以得到如下的温度分布图：

注意，由于这是一个非稳态问题，温度分布会随时间变化而变化。在该示例中，我们使用了较小的时间步长，以确保数值解的精度。当时间步长过大时，数值解可能会不稳定甚至发散。