线性规划的单纯形法计算详解

"单纯形法是运筹学中解决线性规划问题的一种有效算法，尤其适用于求解大型线性优化问题。以下是对单纯形法计算过程的详细解释： 1. **构造初始单纯形表**：在标准化后的线性规划问题中，首先需要找到一组初始基变量，基于这些变量构建初始的单纯形表格。这个表格包含了所有决策变量的系数、常数项（即右端项b）、以及检验数。检验数是通过特定公式计算得出的，用于判断当前解是否可能是最优解。 2. **最优性检验**：检查单纯形表中的所有检验数，如果它们都小于或等于零，那么当前的基可行解就是问题的最优解，计算结束。如果存在一个检验数大于零，说明还有改进空间，需要继续优化。 3. **确定换入变量**：选择具有最大正检验数的非基变量作为换入变量。这个变量将被加入到基变量集合中，以期望改善目标函数的值。 4. **确定换出变量**：如果换入变量对应的列的所有系数均小于或等于零，这意味着问题可能有无界解，计算终止。否则，通过比较换入变量所在列系数除以b列对应数的商，选择最小的那个商对应的基变量作为换出变量。换出变量将从基变量集合中移除。 5. **旋转运算**：确定了换入和换出变量后，进行矩阵的初等行变换，以换入变量所在列和换出变量所在行的交叉元素为主元，将这个元素变为1，同时将主元列的其他元素变为0。这样就形成了新的单纯形表，然后返回第二步，继续进行最优性检验。 线性规划问题通常涉及到最大化或最小化目标函数，同时满足一系列线性约束条件。例如，穗羊公司的问题就是典型的生产计划问题，目标是最大化利润，而受到原材料可用量的限制。通过建立线性模型，可以使用单纯形法寻找最佳生产策略。类似地，下料问题（如例2所示）也是线性规划的应用，旨在最小化材料浪费，通过设定决策变量和约束条件，构建模型并求解。 线性规划模型的构成包括决策变量、目标函数和约束条件，且目标函数和约束条件都必须是决策变量的线性函数。对于只有两个决策变量的问题，可以采用图解法直观地求解，而在多个变量的情况下，单纯形法则更为适用。" 以上内容详细阐述了单纯形法的计算步骤，并通过实例展示了线性规划问题的建模和求解过程。