非线性最小二乘法：高斯牛顿迭代详解

"高斯牛顿迭代是一种解决非线性最小二乘问题的优化算法，主要应用于无约束最优化问题。这种方法与牛顿法有相似之处，但避免了计算二阶导数，从而降低了计算复杂性。" 在非线性最小二乘问题中，目标是找到一组参数使得残差函数的平方和最小。例如，对于一个数据拟合问题，如果实际数据点与理论模型之间存在差异，我们可以构建一个剩余函数，表示模型预测值与实际观测值的差距。通过最小化这些差值的平方和，我们可以找到最佳参数估计。 高斯牛顿法利用了梯度（Gradient）和海森矩阵（Hessian）的概念。梯度是函数的一阶偏导数构成的向量，而海森矩阵包含了一阶偏导数和二阶偏导数的信息，反映了函数的曲率。在高斯牛顿法中，由于不直接计算二阶导数，而是通过雅可比矩阵（Jacobian）的转置乘以其自身来近似海森矩阵。雅可比矩阵代表了函数的局部线性变化。 迭代过程如下：首先，我们对当前点的残差函数进行泰勒级数展开，保留一阶项并忽略二阶项，这相当于用线性化模型逼近非线性函数。然后，通过求解线性系统来更新参数，该线性系统由雅可比矩阵的转置乘以其自身和残差的负梯度构成。如果雅可比矩阵是满秩的，解出的更新向量将导致函数值的下降，从而逐渐逼近最小值。 与牛顿法相比，高斯牛顿法的优点在于简化了计算，特别是在处理大型问题时，因为计算海森矩阵可能非常耗时。然而，它也有其局限性。如果二阶导数较大或雅可比矩阵不是满秩，高斯牛顿法可能收敛较慢，甚至可能不收敛。此外，如果初始点远离全局最小值，高斯牛顿法可能被困在局部最小值中。 总结来说，高斯牛顿迭代是一种强大的工具，用于解决非线性最小二乘问题，尤其在计算资源有限的情况下。它的核心思想是通过线性化来逼近非线性问题，以实现有效的参数优化。然而，它并不总是最优解决方案，因为其性能依赖于问题的特性，包括函数的光滑性、初始点的选择以及雅可比矩阵的结构。在实际应用中，可能需要结合其他优化策略，如Levenberg-Marquardt算法，以提高求解的稳定性和效率。