非线性最小二乘法：高斯牛顿迭代解析

"高斯牛顿迭代是一种非线性最小二乘法的优化算法，用于找到使得一组辅助剩余函数平方和最小的变量解。这种方法在处理数据拟合、参数估计等许多实际问题中非常常见。高斯牛顿法与牛顿法的主要区别在于，它不需要直接计算目标函数的二阶导数矩阵（海森矩阵），而是通过雅可比矩阵的转置乘以其自身来近似海森矩阵，从而简化了计算过程。" 在非线性最小二乘问题中，目标是找到一个向量x，使得剩余函数r(x)的平方和达到最小。例如，在一个典型的人口增长模型中，实际人口数据与理论模型之间的差距被定义为剩余函数，通过最小化这些剩余的平方和来确定模型参数。 高斯牛顿法的核心在于梯度和海森矩阵。梯度是目标函数的一阶偏导数构成的向量，而海森矩阵则是目标函数的二阶偏导数组成的矩阵。在高斯牛顿法中，雅可比矩阵J(x)表示了目标函数对变量的线性变化，而Hessian Q(x)是J(x)的二阶导数。对于非线性最小二乘问题，当r(x)等于零时，Q(x)也接近于零，这意味着模型与实际数据的匹配度较高。 迭代过程如下：首先，通过线性化剩余函数r(x)来构建近似问题，然后求解线性系统的解来更新变量x。线性化的形式为r(x) ≈ J(x)(x - xk)，其中xk是当前迭代的解。利用这个近似，可以形成以下迭代公式： \[ x_{k+1} = x_k - [J^T(x_k)J(x_k)]^{-1} J^T(x_k) r(x_k) \] 如果雅可比矩阵J(x)在迭代点附近是满秩的，那么上述迭代会带来下降且收敛的步长。与标准牛顿法相比，高斯牛顿法在计算上更高效，因为它避免了直接计算和求逆海森矩阵。然而，如果目标函数的二阶导数很大，高斯牛顿法可能收敛较慢。 总结起来，高斯牛顿迭代是解决非线性最小二乘问题的一种有效方法，它利用雅可比矩阵近似海森矩阵，简化了计算，但可能在某些情况下不如牛顿法稳定或快速。在实际应用中，需要根据问题的具体特性选择合适的优化策略。