Runge现象与数值积分：从多项式逼近到Romberg算法

"南京航空航天大学数值逼近课设" 在数值计算领域，数值逼近是解决大量实际问题的关键技术之一。本课设主要围绕数值逼近的核心概念展开，重点探讨了多项式插值方法及其在处理复杂函数逼近时遇到的问题。其中，拉格朗日插值法、内维尔途径和牛顿途径是常用的多项式插值方法，它们能在等距和不等距节点上构建多项式以近似原函数。然而，Runge现象表明，在等距节点上过度插值可能导致逼近结果失真，这个问题由Carl Runge在1901年提出。 针对Runge现象，课设介绍了样条插值作为有效的解决方案。样条插值利用分段三次多项式来逼近函数，保证了导数在端点处的连续性，从而有效避免了Runge现象。D1样条、D2样条（自然样条）和周期样条是样条插值的主要类型，其中D1样条在工程实践中应用尤为广泛。 为了量化逼近的质量，课程引入了范数的概念，以客观标准衡量逼近的精确度。最佳一致逼近和最佳平方逼近是两种常见的范数应用，它们分别关注函数值的偏差和残差平方和。课设通过实例深入分析了最佳平方逼近，并利用史密斯正交基提升算法效率和精度。 在数值积分部分，拉格朗日插值被用来近似原函数，进而求解超越函数的积分。梯形公式、Simpson公式和Cotes公式是常用的数值积分方法，但各自的精度受到节点数量的影响。通过复化积分公式，即通过分段积分提高精度，课设发现Cotes公式在特定条件下优于Simpson公式，Simpson公式又优于梯形公式。 最后，为了实现更高精度和更快的收敛速度，Romberg算法被引入。这种逐次分半加速的数值积分方法在高精度需求、自适应性、灵活性和收敛速度上表现出色，被广泛应用在科学计算、数值模拟和工程实践中。通过本课设的学习，学生将能够掌握数值逼近的基本理论和实践技巧，为解决实际问题打下坚实基础。