预处理共轭梯度法求解稀疏线性方程组的高效并行算法

"稀疏线性方程组的一种预处理并行算法 (2012年)，作者：刘秀敏，吕全义，杜艳君，发表于《纺织高校基础科学学报》2012年第2期，主要讨论了预处理共轭梯度法在并行计算中的应用，旨在解决系数矩阵为稀疏对称正定矩阵的线性方程组。" 在数值计算领域，稀疏线性方程组的求解是处理各种实际问题的核心技术，尤其是在自然科学和社会科学的建模中。由于矩阵的稀疏性，共轭梯度法(CG法)成为一种常用且高效的求解方法，它能有效利用矩阵的结构，无需预先估计参数，且每次迭代操作主要涉及向量运算，易于实现并行化。 然而，CG法的收敛速度依赖于系数矩阵的条件数，条件数大则收敛缓慢。预处理共轭梯度法(PCG法)应运而生，通过引入预处理矩阵M改善原始矩阵的条件数，使得特征值分布更加集中，从而加速收敛。本文提出了一种新的并行算法，特别针对那些不规则结构的稀疏线性方程组。 该算法创新之处在于提出了一种预处理迭代模式。首先，定义预条件矩阵M，然后构造并行迭代公式来解预处理方程组，再利用共轭梯度法并行求解。相较于直接应用CG法或传统的PCG方法（仅迭代一次），该方法在数值实验中显示出了更快的收敛速度，并且具有良好的并行性能，特别是在相邻处理机间通信成本较低的情况下。 在实际应用中，如在由多个区域组成的复合区域上离散偏微分方程所得到的系数矩阵，往往不具备规则结构，这类问题的求解更具挑战性。文献中提到的其他并行算法，如基于并行环境的预处理CG法和Arnoldi并行算法，虽然在带状和块三对角线性方程组上有显著进展，但并不适用于所有非规则稀疏矩阵。 本文的方法为解决这类问题提供了一个新思路，通过减少预处理方程组的计算复杂度并优化通信策略，实现了并行计算效率的提升。这种方法对于大型、复杂问题的数值求解具有重要意义，有助于在有限的计算资源下快速获得精确解，从而推进相关领域的研究和发展。