Manacher算法详解：O(n)求解回文子串

"manacher算法" Manacher算法是一种用于查找字符串中所有回文子串的高效算法，它的主要优点在于可以在线性时间复杂度O(n)内完成，其中n是字符串的长度。这种算法特别适用于处理包含大量回文子串的问题，比传统的平方时间复杂度的朴素算法更优。 回文串是一个字符串，无论从左到右读还是从右到左读都是相同的。回文子串则是字符串中的一个连续子串，它本身是一个回文串。在寻找回文子串时，通常会遇到两种情况：以单个字符为中心的奇数长度回文串和以两个相邻字符为中心的偶数长度回文串。Manacher算法通过巧妙地处理，将这两种情况统一起来，使得处理更加简洁。 在Manacher算法中，首先会对原始字符串进行预处理，将每个字符之间插入一个不会出现在原串中的特殊字符（如'#'），并将首尾也加上该特殊字符。这样，所有回文串的长度都会变为奇数，且可以以特殊字符为中心。例如，原始串"abaab"经过预处理后变为"#a#b#a#a#b#"。 接下来，算法会构建一个辅助数组P，其中P[i]表示以字符i为中心的最长回文子串的半径。P数组的初始化为1，因为每个字符本身至少是一个长度为1的回文子串。然后，算法通过动态规划逐步更新P数组，利用已知的回文子串信息来快速计算新的回文子串。 在更新P[i]时，算法会考虑两个关键信息：一是回文串的对称性，如果i的镜像位置j（关于字符串中心对称的位置）处的P[j]值已知，那么P[i]可能等于P[j]，但需要检查是否越界；二是回文串的边界，如果i在已知回文串的边界内，那么P[i]可以扩大到边界。通过这样的优化，算法可以避免不必要的重复计算，大大提高效率。 核心代码通常包含一个循环，遍历预处理后的字符串，每次迭代时根据已知的P值和回文边界信息更新P[i]。在实际实现中，还需要维护一个回文串的右边界R和中心C，以便跟踪当前已知的最长回文子串。 Manacher算法通过预处理和动态规划技巧，解决了回文子串查找问题，实现了线性时间复杂度的高效解决方案，尤其适合解决需要频繁查找回文子串的编程竞赛题目。对于初学者而言，理解并掌握Manacher算法能够提升处理字符串问题的能力，并为解决更复杂的字符串算法打下基础。