"复变函数(史济怀,刘太顺)习题解答1"

复变函数是研究复数域上的函数的一门学科，也是数学分析的一部分。复数是由实数和虚数构成的数，虚数单位i满足i^2=-1。复数的一般形式为z=a+bi，其中a和b为实数，a称为实部，b称为虚部。 在复变函数的习题解答中，我们首先考虑了一些关于复数集合的性质。在习题1中，我们要证明对于任意n个复数z_1, z_2, ..., z_n，有关系式∑|z_i|^2 ≤ (∑|z_i|)^2成立，并给出了等号成立的条件。通过数学归纳法证明，我们可以得知等号成立的条件是z_1, z_2, ..., z_n线性相关。 接下来，在习题2中，我们考虑了一个更一般的情况，设12,...,nz_1, z_2, ..., z_n是任意n个复数，要证明关系式1≤∑∑|z_i - z_j|成立，并给出了等号成立的条件。同样地，通过数学归纳法证明，我们可以得知等号成立的条件是12,...,nz_1, z_2, ..., z_n线性相关。 在习题3中，我们要证明对于任意复数z=a+ib，有关系式1≤(Re z - Im z)^2 + (Re z + Im z)^2成立。我们先将z表示成za+ib，再利用习题2的结果，我们可以得出结论1≤(Re z - Im z)^2 + (Re z + Im z)^2。 在习题4中，我们要证明对于给定的复数z和实数λ，如果|z| ≥ |λ|，则有关系式2|z|^2 - 2Re(λz) + |λ|^2 ≤ 0成立。通过代入具体的值，我们可以得到等号成立的条件。 最后，在习题5中，我们要证明对于给定的复数a和z，如果|a| < 1且|z| = 1，那么有关系式1 - az + az^2 ≤ 0成立。通过将a和z分别表示成实部和虚部的形式，我们可以将不等式化简为一个关于实数的二次函数，进而证明该不等式成立。 综上所述，通过解答这些习题，我们熟悉了复变函数中一些基本的性质和不等式，这对于进一步研究复变函数以及在实际问题中的应用都具有重要的意义。