自动控制原理：电网络微分方程解析

"自动控制原理答案，高等教育出版社，第三版，包含第2章习题及解答" 在自动控制原理的学习中，解决电网络的微分方程是关键的一部分，这有助于理解系统的动态行为。这里我们主要关注两个问题，分别对应于不同电路配置的微分方程建立。 第一个问题是关于一个包含电阻R1、R2、电容C和未知元件的电网络（见题目描述的(a)部分）。为了找出输出变量uo与输入变量ui之间的关系，我们需要根据基尔霍夫电压定律和电流定律来设立变量约束方程。通过分析电流i1和i2，我们可以得出以下两个微分方程： 1. 对于i1，我们有： \[ \frac{di_1}{dt} = \frac{u_{io}}{R_1C} - \frac{i_1}{R_2} \] 2. 对于i2，我们有： \[ i_2 = i_1 + C\frac{du_{io}}{dt} \] 结合这两个方程，消去中间变量i1，我们可以得到输出uo与输入ui之间的二阶线性常系数微分方程： \[ \frac{d^2u_{io}}{dt^2} + \frac{2R_1}{L}\frac{du_{io}}{dt} + \frac{1}{LC}u_{io} = \frac{R_1R_2 + R_1C + R_2C}{LC}u_i \] 这个方程描述了网络的动态响应，其中L是未知元件的电感。 第二个问题涉及到包含电阻R1、R2、电感L和电容C的电网络（见题目描述的(b)部分）。同样地，我们设定电流变量并建立约束方程： 1. 对于i1，我们有： \[ di_1/dt = \frac{u_i - u_{io}}{R_1C} - \frac{i_1}{R_2} \] 2. 对于i2，我们有： \[ L\frac{di_2}{dt} = u_{io} - Ri_1 - \frac{1}{C}i_2 \] 消去中间变量i1，我们得到： \[ \frac{d^2u_{io}}{dt^2} + \frac{R_1 + R_2}{L}\frac{du_{io}}{dt} + \frac{1}{LC}u_{io} = \frac{R_1R_2 + R_2L + RC}{LC}u_i \] 这个方程是另一个二阶线性常系数微分方程，描述了网络对输入信号ui的响应。 此外，电磁铁的磁拉力计算公式也被提及，其形式为 \( F_x = \frac{N}{x}i \)，其中F_x表示磁拉力，N是线圈匝数，i是通过线圈的电流，x是磁路长度。这个公式表明磁拉力与电流成正比，与磁路长度成反比。 通过这样的习题解答，学生可以深化对自动控制原理中电路动态行为的理解，特别是如何通过微分方程来描述系统的动态特性。这种分析对于设计控制器、预测系统响应以及解决实际工程问题至关重要。同时，了解电磁铁的磁拉力公式也扩展了对电磁效应的应用知识。