TOPSIS法详解:优劣解距离法的步骤与应用
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"TOPSIS法(优劣解距离法)是一种多准则决策分析方法,用于在多个评价标准下比较和排序不同的解决方案。这种方法由C.L.Hwang和K.Yoon于1981年提出,目的是通过衡量每个方案与理想解(最优方案)和反理想解(最劣方案)的距离来确定它们的相对优劣。"
TOPSIS法的基本步骤如下:
1. **正向化处理**:
- 针对不同的指标类型,将原始数据转换为统一的正向指标:
- 极大型指标(如成绩、GDP增速):保持原样,因为越高越好。
- 极小型指标(如费用、坏品率):取最大值减去原始值,使得小值变得大。
- 中间型指标(如pH值):计算绝对偏差,然后取1减去这个绝对偏差,使得越接近最佳值得分越高。
- 区间型指标(如体温、水中植物性营养物量):根据最佳区间调整,使得值在区间内得满分,不在区间内得分降低。
2. **标准化处理**:
- 对正向化后的矩阵进行标准化,消除指标之间的量纲差异,通常采用Z-score标准化公式,即每个元素 \( z_{ij} = \frac{x_{ij} - \bar{x}_j}{s_j} \),其中 \( \bar{x}_j \) 是第j列的平均值,\( s_j \) 是第j列的标准差。
3. **构造理想解和反理想解**:
- 理想解(Best Alternative, B)是所有指标最优的解决方案,反理想解(Worst Alternative, W)是最差的解决方案。理想解对应于最大化正向指标和最小化负向指标,反理想解反之。
4. **计算距离**:
- 计算每个方案到理想解和反理想解的欧氏距离。
- 对于方案i,理想解距离 \( D_i^+ \) 和反理想解距离 \( D_i^- \) 分别为:
\[ D_i^+ = \sqrt{\sum_{j=1}^{m}(z_{ij}-z_{j}^+)^2} \]
\[ D_i^- = \sqrt{\sum_{j=1}^{m}(z_{ij}-z_{j}^-)^2} \]
其中,\( z_{j}^+ \) 和 \( z_{j}^- \) 分别是第j列的最大值(正向指标)和最小值(负向指标)。
5. **归一化得分**:
- 形成靠近理想解程度的相对接近度 \( R_i \),它表示方案i与理想解的相对接近程度:
\[ R_i = \frac{D_i^-}{D_i^+ + D_i^-} \]
- \( R_i \) 的值越接近1,表明方案i越接近理想解,相对优势越大。
6. **排序决策**:
- 根据 \( R_i \) 的大小对所有方案进行排序,\( R_i \) 值最大的方案被选为最优方案。
通过TOPSIS法,可以全面、系统地分析和比较具有多种评价标准的复杂问题,为决策者提供一个科学的决策依据。这种方法适用于各种领域,包括项目管理、产品评估、供应商选择等。
2021-10-01 上传
2023-03-21 上传
2024-09-09 上传
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