线性最小二乘问题与曲线拟合解析

"这篇资料是关于数值分析课程的第七章——曲线拟合与线性最小二乘问题。主要内容涉及线性最小二乘问题的一般提法、最小二乘多项式拟合的应用，并给出一个实际的纤维强度与拉伸倍数关系的示例。" 线性最小二乘问题在数据分析中具有广泛应用，它主要解决的是如何找到一组系数，使得由这些系数构成的模型对给定数据的残差平方和最小。在描述中提到了"正交三角分解"，这是一种矩阵分解方法，通常用于简化矩阵运算和求解线性系统。 在最小二乘问题的一般提法中，我们有m个观测点和n个未知参数。假设我们有一个数据集，其中每个点由坐标 (x_i, f(x_i)) 给出，目标是找到一个函数族中的近似函数 f(x) = Σα_iφ_i(x)，其中 φ_i(x) 是预先确定的线性无关函数，α_i 是待求的系数。我们定义残差向量 r 为实际观测值 f(x) 与模型预测值 F(α, x) 之间的差，即 r = f - F(α)。我们的目标是最小化残差向量的2-范数，也就是要求解一组 α_i 使得 ||r||_2 达到最小。 当 m=n 时，问题转化为求解一个齐次线性系统，即多项式插值问题，这时存在一个唯一的解。而当 m>n 时，即数据点多于模型参数，形成超定系统，最小二乘解可以通过求解矩阵 A 的广义逆来获得，形式为 A^+b，其中 A^+ 是 A 的 Moore-Penrose 广义逆，b 是观测数据的列向量。 在最小二乘多项式拟合中，我们尝试用多项式来逼近给定的数据点，例如在纤维强度的例子中，通过拟合不同拉伸倍数对应的强度数据，找到一个最佳的数学模型来描述这种关系。这种方法可以帮助我们理解数据的主要趋势，即使模型并不穿过每一个数据点。 总结起来，本章节深入探讨了线性最小二乘法在曲线拟合中的应用，包括理论基础、计算方法和实际案例，为处理数据拟合问题提供了理论框架和实用工具。对于数据分析和工程问题的解决，理解并掌握线性最小二乘法是非常重要的。