图的邻接矩阵定义与有向/无向图示例详解

网络的邻接矩阵是一种在数据结构和图论中用于表示图的工具，它将图中的顶点和它们之间的连接关系以矩阵的形式表达出来。在图论中，图被定义为由顶点集合V和边集合E组成的数据结构，可以是无向图或有向图。有向图中的边具有方向性，而无向图的边则是双向的。 对于有向图，如示例中G1所示，其顶点集V(G1)={1,2,3,4,5,6}，边集E(G1)包含了从一个顶点到另一个顶点的有序对，例如<1,2>表示从顶点1到顶点2有一条有向边。顶点1是弧尾，顶点2是弧头。在无向图中，如G2所示，边集中的元素是对称的，如(1,2)和(2,1)表示相同的无向边连接顶点1和2。 邻接矩阵是一个二维数组，其中行代表源顶点，列代表目标顶点，矩阵中的元素值表示两个顶点之间是否有边相连。对于有向图，如果从v到w有边，则邻接矩阵中的对应位置为1，否则为0；而对于无向图，由于边是双向的，矩阵的对角线上和对角线下的元素值都应为1，表示存在边连接这两个顶点。 在图的定义中，术语“有向完全图”指的是所有顶点之间都有指向关系的有向图，其边的数量达到最大值，即n(n-1)，其中n是顶点数量。而“完全图”则指不论有向还是无向，每个顶点都与图中的其他所有顶点直接相连。无向完全图则是无向图中的特殊情况，即所有顶点之间都存在边连接。 邻接矩阵不仅有助于分析图的连通性、路径查找等问题，也是许多算法的基础，如最短路径算法（Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法）、拓扑排序等。理解并掌握邻接矩阵的概念和使用方法，对于深入研究计算机科学中的图论和算法设计至关重要。