复合最速下降法：求解自反矩阵方程的迭代算法与最佳逼近

本文主要讨论的是矩阵方程AXB+CXTD=E的自反（或反自反）最佳逼近解的迭代算法，发表在2013年的《江汉大学学报(自然科学版)》上。该研究关注的核心问题是解决两个问题： 问题Ⅰ：给定矩阵A ∈ R^(m×p)，B ∈ R^(p×n)，C ∈ R^(m×p)，D ∈ R^(p×n)，以及E ∈ R^(m×n)，目标是找到一个对角矩阵X ∈ R^(p×p)_r^P，使得AXB + CXTD - E 的误差平方最小化。这种问题在求解线性系统时有实际应用，特别是在控制理论和科学计算领域。 问题Ⅱ：进一步地，如果已知问题I的解集SE，即矩阵方程的解或最小二乘解集合，给定一个特定的解X_ * ∈ R^(p×p)_r^P，目标是找到SE中的矩阵X，使得它与X_ * 的差最小，即找到SE中与X_ * 最接近的解。 文章提出的算法是基于复合最速下降法的迭代策略，这种方法适用于矩阵方程无论是兼容还是不兼容的情况。无论初始矩阵X0是自反还是反自反，该算法都能计算出相应矩阵方程的自反或反自反最佳逼近解。文章还介绍了相关的数学工具，如矩阵的转置、Kronecker积、内积、矩阵的拉伸算子、Hilbert空间中的映射、反射矩阵的概念、梯度算子以及投影算子等。 反射矩阵在系统与控制理论中的应用广泛，而Sylvester矩阵方程作为计算数学的重要研究对象，其解的求解方法在数值分析中具有重要意义。文中引用了其他文献的工作，例如利用广义Moore-Penrose分解求解AX+XTC=B的解，以及利用共轭梯度迭代算法处理AXB+CXTD=E这样的矩阵方程。 通过两个数值实例，作者验证了所提算法的有效性和实用性，这表明该方法不仅理论上严谨，而且在实际问题中可以得到可靠的结果。整个研究旨在提供一种有效的数值方法来处理这类矩阵方程，对相关领域的研究人员和工程师来说具有很高的参考价值。