矩阵方程AXB+CYD=E的反对称最小二乘解研究

"矩阵方程的反对称最小二乘解与极小范数解的研究" 本文主要探讨了矩阵方程\( AXB + CYD = E \)的反对称最小二乘解和反对称极小范数最小二乘解，其中\( A \in R^{m \times n}, B \in R^{n \times s}, C \in R^{m \times k}, D \in R^{k \times s}, E \in R^{m \times s} \)是给定的矩阵。利用矩阵的拉直算子、Moore-Penrose广义逆以及Kronecker积，作者李水勤和邓继恩提供了该方程的解的表达式。 在矩阵理论中，反对称矩阵是一个当转置后取负的矩阵，即\( A^T = -A \)。对于方程\( AXB + CYD = E \)，其反对称解是指满足\( (AXB + CYD)^T = -AXB - CYD \)的矩阵解。文章首先给出了该方程的反对称解的表达式，然后进一步研究了该方程存在反对称解的充分必要条件。 Moore-Penrose广义逆是一种广义的逆矩阵概念，对于任何矩阵A，其Moore-Penrose逆\( A^+ \)是唯一满足特定条件的矩阵，可以用于求解各种线性方程组。在本文中，它被用来构造解的表达式，特别是对于反对称极小范数最小二乘解。 最小二乘解是解决线性方程组时，当方程不满秩或者无解时的一种常见策略。它寻找使得误差平方和最小的解。在矩阵方程的反对称极小范数最小二乘解问题中，目标是找到一个反对称矩阵，使得误差范数（通常为Frobenius范数）达到最小。作者给出了这种解的具体表达式。 Kronecker积是两个矩阵的乘积形式，它将两个矩阵的维度相乘，结果是一个新的大矩阵。在处理矩阵方程时，Kronecker积可以方便地转换和操作矩阵，简化计算。 文章中还提到了一些基本的矩阵概念，如矩阵的内积、范数（Frobenius范数和2-范数）、正交矩阵以及反对称矩阵的集合AS\( R^{n \times n} \)。这些概念是理解矩阵方程及其解的关键。 这篇论文深入研究了矩阵方程的特殊解法，对于处理包含反对称矩阵的线性系统提供了理论支持和实用工具，特别是在优化理论和应用领域具有重要的意义。