6. 设(aXb) ・c=2,则[(a+b)X(b+c)]・ (c+a)=

根据向量的运算法则，有：

(a+b)X(b+c) = aXb + aXc + bXb + bXc

(c+a) = cXa + aXa + cXb + aXb

将上式代入，可得：

[(a+b)X(b+c)]・(c+a) = (aXb + aXc + bXb + bXc)・(cXa + aXa + cXb + aXb)

将向量的数量积展开，有：

(aXb + aXc + bXb + bXc)・(cXa + aXa + cXb + aXb) = aXb・cXa + aXb・aXa + aXb・cXb + aXb・aXb + aXc・cXa + aXc・aXa + bXb・cXa + bXc・aXa + bXb・cXb + bXb・aXb + bXc・cXb + bXc・aXb

根据已知条件 aXb・c = 2，代入上式，有：

(a+b)X(b+c)・(c+a) = 2cXa + aXb・aXa + aXb・cXb + aXb・aXb + aXc・cXa + aXc・aXa + bXb・cXa + bXc・aXa + bXb・cXb + bXb・aXb + bXc・cXb + bXc・aXb

化简，得：

(a+b)X(b+c)・(c+a) = 2cXa + aXb・cXb + aXb・aXb + aXc・cXa + aXc・aXa + bXb・cXa + bXc・aXa + bXb・cXb + bXc・cXb + (aXb・aXa + bXb・aXb + bXc・aXb)

再次利用 aXb・c = 2，将其代入上式，得：

(a+b)X(b+c)・(c+a) = 2cXa + 2aXb + aXb・aXb + aXc・cXa + aXc・aXa + bXb・cXa + bXc・aXa + bXb・cXb + bXc・cXb + (2 + bXb・aXb + bXc・aXb)

化简，得：

(a+b)X(b+c)・(c+a) = 2cXa + 2aXb + aXb・aXb + aXc・cXa + aXc・aXa + bXb・cXa + bXc・aXa + bXb・cXb + bXc・cXb + 2

因此，[(a+b)X(b+c)]・(c+a) = 2cXa + 2aXb + aXb・aXb + aXc・cXa + aXc・aXa + bXb・cXa + bXc・aXa + bXb・cXb + bXc・cXb + 2。