"这篇文档是IOI2004国家集训队成员杨思雨关于伸展树的基础知识和应用的论文。文章介绍了伸展树作为一种动态调整的二叉查找树，其在解决信息学竞赛问题时的重要性和优势。伸展树通过伸展操作（Splay）来优化查找路径，使得在一系列操作后的平均时间复杂度达到O(logn)，从而在一定程度上实现了平衡。文中还对比了伸展树与其他树状数据结构如红黑树、AVL树的特性，并通过实例展示了伸展树的应用。"
**伸展树的基本操作**
伸展树的核心操作是伸展操作（Splay），它包括了旋转操作，用于调整树的结构，确保频繁访问的节点逐渐靠近根节点，从而优化后续访问的效率。伸展操作分为以下几种：
1. **左旋（Left Rotation）**: 当节点x是其父节点y的右孩子时，通过一次左旋可以将x提升到父节点的位置，y成为x的右孩子。左旋保持了二叉查找树的性质。
2. **右旋（Right Rotation）**: 当节点x是其父节点y的左孩子时，通过一次右旋可以将x提升到父节点的位置，y成为x的左孩子。右旋同样保持了二叉查找树的性质。
3. **双旋（Double Rotation）**: 在某些情况下，需要结合左右旋进行两次旋转，以更有效地调整树的结构。例如，当节点x是其祖父节点z的左孩子，且x的右子树是空或者x的右子树的右孩子是空时，可以先进行右旋操作，再进行左旋操作，称为Z形旋转（zig-zag）；反之，如果x是其祖父节点z的右孩子，且x的左子树是空或者x的左子树的左孩子是空时，可以先进行左旋操作，再进行右旋操作，称为Zig-Zag旋转。
**时间复杂度分析**
尽管伸展树不保证树的完全平衡，但通过对每个节点执行伸展操作，可以保证在一系列操作后，任何节点的路径长度（即查找该节点的次数）的平均值是O(logn)。这是因为每次伸展操作都会将最近访问的节点移向根部，减少了未来的查找成本。因此，伸展树在动态查询场景下表现优秀，具有良好的平摊时间复杂度。
**伸展树的应用**
在信息学竞赛中，伸展树可以用于解决需要频繁插入、删除和查找的动态集合问题。例如，实现动态的顺序表、优先队列或者搜索历史记录的优化。与AVL树和红黑树相比，伸展树在空间和编程实现上更简洁，因为它们不需要额外的标志位或颜色信息。
**总结**
伸展树是一种自我调整的数据结构，通过伸展操作实现了对常用节点的优化访问，降低了平均查找时间。尽管在最坏情况下，单次操作的时间复杂度可能达到O(n)，但平摊下来，伸展树的性能接近最优的平衡二叉查找树。在实际应用中，特别是在动态数据集的场景下，伸展树展现出了高效且易于实现的特点。
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