李雅普诺夫稳定性：非线性系统分析的关键

本章深入探讨了李雅普诺夫稳定性分析在控制系统中的核心地位。李雅普诺夫稳定性是衡量一个系统在受到外部干扰后能否恢复平衡并保持正常运行的关键概念。几何解释如图5-3所示，通过状态轨迹随时间发散或收敛的过程，直观地展示了稳定与不稳定之间的区别，与图5-1形成对比。 李雅普诺夫稳定性定义强调，系统在扰动消除后能够自动返回平衡状态并继续功能。稳定性分析主要涉及以下几个方面： 1. 定义与基本定理：首先介绍李雅普诺夫稳定性的确切定义，即系统在扰动消失后偏差量趋向于零的特性。基础定理提供了判断系统稳定的准则。 2. 李雅普诺夫第二法：本章重点讨论了李雅普诺夫第二法，这是一种在分析线性和非线性系统稳定性时常用的方法。对于线性系统，它用于确定系统稳定性，并在3类非线性系统中也有广泛的应用。此外，如何构造李雅普诺夫函数，即设计一个函数来评估系统稳定性，也是关键内容。 3. 微分方程求解：涉及到求解与稳定性相关的李雅普诺夫代数或微分方程，这有助于理解和设计稳定控制器。 4. Matlab应用：为了实践和教学，本章还介绍了如何使用Matlab工具进行李雅普诺夫稳定性问题的数值计算和程序设计，这在实际工程中非常实用。 5. 经典控制理论局限性：尽管经典控制理论如劳斯-赫尔维茨判据和奈奎斯特判据对SISO线性定常系统的稳定性很有帮助，但它们无法处理复杂的非线性或时变系统。因此，引入李雅普诺夫稳定性分析显得尤为重要，因为它能够处理这些系统的内部状态变化和动态行为。 李雅普诺夫稳定性分析是控制理论的核心组成部分，它不仅适用于线性系统，还能扩展到非线性和时变系统，对于确保自动控制系统的稳定性和可靠性至关重要。理解并掌握这一理论，对于工程师来说，意味着在设计和分析现代复杂系统时拥有了强大的工具。