LQ最优控制：加权矩阵Q的数值算法与优化

"LQ最优控制是控制理论中的一个重要领域，涉及到线性系统的性能优化。本文提出了一个数值算法，用于求解LQ最优控制问题中的加权矩阵Q。该算法基于LQ最优控制逆问题的参数化方法，将寻找对称非负定的加权矩阵Q转化为一个F-范数优化问题。通过这种方法，可以任意选择一组自变量来解这个优化问题，从而得到满足闭环系统特征值要求的加权矩阵Q。算法的特点在于其良好的收敛性，能够有效地计算出符合要求的Q矩阵。文章作者是王耀青，发表在《控制与决策》2000年9月的第15卷第5期上，关键词包括LQ逆问题、最优控制、加权矩阵和优化。" LQ最优控制是控制工程中的经典问题，目标是设计一个控制器使得系统的性能指标（通常是能量或功率）最小化。在这个问题中，性能指标由状态变量x(t)和控制输入u(t)的加权平方和表示，其中Q和R是状态和控制的加权矩阵，要求Q是对称非负定的，以确保性能指标是非负的。 该文提出的数值算法主要关注如何有效地找到合适的加权矩阵Q。它通过LQ最优控制逆问题的参数化解，将原本复杂的矩阵求解问题转化为一个关于F-范数的优化问题。F-范数优化问题在数学中是一种广泛使用的工具，可以用来处理各种约束下的最优化问题。通过这种转化，算法能够在给定一组自变量的情况下，解决优化问题并得到满足特定闭环系统特征值条件的Q矩阵。这为实际应用提供了极大的便利，特别是对于需要调整系统性能的场景。 算法的收敛性是衡量其性能的关键指标。文中指出，这个算法在收敛性方面表现出色，意味着它可以稳定地逼近问题的最优解，这对于实际的控制设计至关重要。良好的收敛性意味着即使初始选择的自变量不太理想，算法也能逐渐接近最佳的Q矩阵，从而实现最优控制。 这篇论文提供了一种新的数值算法，用于LQ最优控制问题中加权矩阵Q的计算，解决了寻找合适Q矩阵的难题，并且展示了在实际应用中的高效性和可靠性。这对于控制系统的设计和优化具有重要的理论和实践价值。