UDCT：低冗余的离散曲波变换实现

"UDCT思路-均匀离散曲波变换" 均匀离散曲波变换（UDCT）是一种结合了离散傅立叶变换（FDCT）和Contourlet变换思想的图像处理技术，旨在提供一种低冗余且忠实于原始曲波变换的方法。UDCT的核心在于构造一组特定的窗函数，并通过它们设计滤波器组来实现图像的多级分解与重构。 窗函数的设计是UDCT的关键。这些窗函数具有以下特性： 1. 所有窗函数在频域内表现为2π周期的，这意味着它们在整个频率范围内都有定义。 2. 第一个窗函数u0(ω)的支撑区域为[-π/2, π/2]，形状类似正方形，便于捕捉图像中的高频细节。 3. 其余2N个窗函数具有楔形支撑，这种设计有助于在不同的尺度和方向上捕获图像信息。 4. 窗函数是紧支光滑函数，参数ηa和ηb控制了窗函数在过渡区域的宽度，确保了函数的平滑性和连续性。 5. 楔形支撑函数的最宽部分不超过π，以限制频率响应的宽度。 6. u0(ω)^2加上所有ul(ω)^2+ul(-ω)^2的和为1，这保证了窗函数的归一化，确保了能量的完整性。 UDCT利用窗函数构建的滤波器组可以形成树型或平行结构，这种结构类似于小波变换中的多分辨分析，能够有效地进行图像的多级分解。滤波器组的使用使得UDCT能够通过快速傅立叶变换（FFT）实现，从而提高计算效率。 相比于传统的小波变换，UDCT更适应于处理图像中的低维结构，如曲线奇异点。小波变换在处理分段光滑信号时表现出色，但对曲线奇异点的检测能力有限。而UDCT的设计目标是更好地捕获图像中的直线和曲线奇异点，这是自然图像中普遍存在的重要特征。 自然图像的稀疏表示是UDCT关注的另一个关键领域。人类视觉系统能够高效地处理图像信息，通过局部化、多尺度和方向性的方式感知世界。UDCT试图模仿这种机制，提供一种既能定位空间位置又能识别频率特征的表示方式，同时考虑了方向性和各向异性，以更好地模拟图像中的边缘和轮廓。 UDCT是一种优化的离散曲波变换方法，它通过精心设计的窗函数和滤波器组，实现了低冗余、多分辨率和方向敏感的图像分析，特别适合于处理具有复杂几何结构的高维信号，如自然图像和视频中的曲线奇异点。