C++图数据结构应用：最小生成树与路径算法实验

资源摘要信息:"C++数据结构实验四：图的应用" 一、图的存储结构 1. 邻接矩阵：图的邻接矩阵表示法是一种二维数组表示法，对于有n个顶点的图，使用一个n*n的矩阵来表示图中的边。在矩阵中，如果顶点i和顶点j之间有边相连，则对应的元素值为1（或边上的权重），否则为0。邻接矩阵表示法适合于边数较多的稠密图。 2. 邻接表：图的邻接表表示法采用数组和链表的混合数据结构。对于图中的每个顶点，使用一个链表来存储和该顶点相连的所有顶点及其边的权重。邻接表表示法适合于边数较少的稀疏图。 二、图的遍历算法 1. 深度优先搜索（DFS）：深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。该算法沿着图的边进行，直到达到一个顶点的所有相邻顶点都被访问过。然后，它回溯并寻找下一个未被访问的顶点，继续进行深度优先搜索。在算法实现中，通常使用递归或栈来记录访问路径。 2. 广度优先搜索（BFS）：广度优先搜索是另一种遍历或搜索树或图的算法。该算法从一个顶点开始，访问该顶点的所有相邻顶点，然后再对每一个相邻顶点进行同样的处理，直到所有的顶点都被访问过。在算法实现中，通常使用队列来记录访问顺序。 三、最小生成树 1. Prim算法：Prim算法是一种构造最小生成树的贪心算法。其基本思想是从图中的某个顶点开始，每次从连接已选顶点集和未选顶点集的所有边中选取权值最小的边，并将其与已选顶点集合并，直到所有顶点都被选取。算法使用优先队列来存储边的权值，从而快速找到最小的边。 2. Kruskal算法：Kruskal算法是另一种构造最小生成树的贪心算法。其基本思想是将图中的边按照权值从小到大的顺序排序，然后逐个选择这些边，加入到最小生成树中。在选择边时，算法需要确保加入的边不会形成环。通常使用并查集数据结构来检测环的形成。 四、拓扑排序与关键路径 1. 拓扑排序：拓扑排序是对有向无环图（DAG）的顶点进行排序，使得对于每一条有向边(u, v)，u都在排序中出现在v之前。拓扑排序通常用于项目计划等场景。实现拓扑排序的一种方法是使用入度数组，每次选择入度为0的顶点并移除所有从该顶点出发的边，重复这个过程直到图中所有顶点都被访问过。 2. 关键路径：关键路径是项目管理中用于确定项目完成时间的一种方法。它是在有向无环图中，从起始顶点到终止顶点的最长路径，它决定了项目最早和最晚的开始时间。关键路径上的活动如果延误将直接影响整个项目的完成时间。 五、最短路径 1. Dijkstra算法：Dijkstra算法是一种用于在加权图中找到单个源点到所有其他顶点的最短路径的算法。该算法使用优先队列来确定下一步访问的顶点，确保每一步都访问到距离源点最近的顶点。算法适合于没有负权边的图。 六、图的逻辑结构与特点 1. 无向图和有向图：无向图是边没有方向的图，其边表示顶点间的连接是双向的。有向图的边有方向，表示连接是从一个顶点指向另一个顶点。在图的逻辑结构中，顶点和边是基本元素，顶点的度是指与顶点相连的边的数量。 2. 最小生成树的概念：最小生成树是指在一个加权连通图中，包含所有顶点且边的权值之和最小的树。最小生成树的构造在许多工程问题中有应用，例如网络设计、电路设计等。 七、实验内容分析 1. 创建带权无向图：实验要求创建一个具有用户指定顶点数n的带权无向图。这可以通过用户输入来确定图的规模，并根据输入的边和权重信息构建邻接矩阵或邻接表。 2. 图的遍历输出：实验要求实现图的深度优先搜索遍历和广度优先搜索遍历，并输出遍历结果。这涉及到图的遍历算法的编码实现。 3. 最小生成树求解：实验中提到采用普里姆算法或克鲁斯卡尔算法构造最小生成树，这是一个选做题。如果选择完成该题目，需要对两种算法的实现过程有所了解，并能够根据算法构造出最小生成树，并计算总造价。 八、实验报告撰写 实验报告应当包括实验目的、实验环境、实验内容、实验步骤、实验结果以及实验总结等部分。在实验报告中，应当详细记录如何创建图，如何实现遍历算法，如何计算最小生成树以及对结果的分析和讨论。同时，报告中还应该包含关键代码片段和实验过程中的截图，以证明实验的完成情况和结果的准确性。