三次多项式系统无穷远点的中心与等时中心研究

"一类三次多项式系统无穷远点的中心与等时中心 (2010年)" 本文探讨了平面三次多项式微分系统在无穷远点的中心与等时中心问题，具体涉及一个含有常数项和全二次项的三次多项式系统。通过同胚变换，将实三次多项式系统的无穷远点转换为原点，使得研究无穷远点的性质等同于研究系统原点的性质。这一方法使得复杂的问题得以简化。 在处理这类问题时，作者采用了复变换，将实系统转换为复系统。利用计算机代数系统计算复系统原点的奇点量和周期常数，以此来确定原点成为中心或等时中心的必要条件。奇点量和周期常数在微分方程理论中是关键概念，它们能够揭示系统的动态特性，比如稳定性、振荡性和周期轨道的存在性。 中心和等时中心是微分系统动力学分析中的重要概念。中心表示在该点附近的轨线是以该点为中心的闭合曲线，而等时中心则意味着经过相同时间的两个点沿着轨线的距离是恒定的。对于无穷远点，这些问题的解决有助于理解和预测系统在远离原点或有限区域外的行为。 文中特别关注了不含纯二次项的实三次系统，形式如(2)，并且通过详尽的数学分析，得到了系统无穷远点成为中心和等时中心的具体条件。这些条件不仅给出了必要性，还通过一系列数学证明确保了充分性，即如果满足这些条件，那么无穷远点必定是中心或等时中心。 这篇论文是在前人对2n+1次实系统研究的基础上，特别是在刘一戎等人提出的新变换方法之后，对三次多项式系统无穷远点的进一步研究。尽管之前有工作涉及具有常数项的系统，但对等时中心的研究相对较少。本文填补了这一空白，为理解和分析这类系统的动态特性提供了新的工具和理论支持。 总结来说，这篇论文在自然科学领域，特别是数学和计算科学中，对三次多项式系统无穷远点的中心与等时中心问题做出了重要贡献。通过理论分析和计算方法的结合，不仅深化了对这类系统的理解，也为未来相关领域的研究奠定了基础。