Rijndael算法与GF(2^8)多项式加法

"本文主要介绍了多项式加法在GF(2^8)有限域中的应用，这是现代密码学，特别是AES算法中的一个重要概念。AES，即高级加密标准，是由Rijndael算法胜出并被NIST采纳的。Rijndael的设计策略包括宽轨迹策略，具有强大的抵抗密码分析的能力。在GF(2^8)中，加法是通过对应系数的模2加法（异或）来实现的，而乘法则是基于特定的不可约多项式。这种表示法对于理解AES中的操作至关重要。" 在现代密码学中，特别是在AES（Advanced Encryption Standard）算法的背景下，多项式加法系数表示法是一个核心概念。AES是1997年由美国国家标准与技术研究所（NIST）发起的一个项目，旨在寻找一个新的加密标准，要求比三重DES更快速且至少同样安全。AES的工作小组收到了众多提案，最终选择了由Joan Daemen和Vincent Rijmen设计的Rijndael算法。 Rijndael算法基于GF(2^8)，这是一个有限域，其中元素可以用8位的二进制多项式来表示。例如，GF(2^8)中的多项式可以写作b7x^7 + b6x^6 + b5x^5 + b4x^4 + b3x^3 + b2x^2 + b1x + b0，其中bi {0,1} 表示每个系数。这个多项式也可以转换成一个字节的形式，即b7b6b5b4b3b2b1b0。 在GF(2^8)中，加法操作是通过对应系数的模2加法（异或）来完成的。这意味着对于两个多项式，比如(x^6+x^4+x^2+x+1) 和 (x^7+x+1)，它们的和是模m(x)的，即x^7+x^6+x^4+x^2 (mod m(x))。在二进制表示中，这相当于01010111和10000011进行异或，得到11010100，十六进制表示为'57'和'83'异或得到'D4'。 GF(2^8)的乘法则更为复杂，它涉及到多项式的模乘。对于Rijndael，特别选择了一个8次不可约多项式m(x) = x^8 + x^4 + x^3 + x + 1。这个不可约多项式用于定义乘法规则，确保了域的性质。 AES算法中的关键操作，如子密钥生成、混淆和扩散等，都依赖于这种多项式加法和乘法。例如，在AES的轮函数中，字节操作通常涉及到多项式的加法和乘法，这些操作通过异或和特定的线性变换来实现，以增强密码的安全性。 因此，理解GF(2^8)上的多项式加法和乘法对于深入理解AES的工作原理至关重要。Rijndael的设计者通过宽轨迹策略确保了算法在抵抗差分密码分析和线性密码分析方面的有效性，这也是其成为AES标准的重要原因。