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Fig. 2 The effect of adding an auxiliary signal on state and output under normal and fault models
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综上分析, 利用状态交集为空设计辅助输入信号的保守性较低. 因此, 本文主要针对系
统(1) 的状态所在的集合交集为空设计最优辅助输入信号, 用该最优辅助输入信号激励系
统, 提高故障检测质量.
1.2 基本概念
目前主动故障检测方法中常用的集合有椭球、全对称多胞形等. 相较于其他集合, 全
对称多胞形的形式简单、计算灵活性高, 可以描述任意凸面体, 并能够适当的控制围包效应
[27]
等. 因此, 本文主要研究利用全对称多胞形对状态集合进行描述, 相关定义与基本性质描
述如下.
定义 1
[25]
. rr 阶全对称多胞形 ZZ 的表达式定义为
Z=cc+∑i=1rαiggi=⟨cc,G⟩=cc⊕GBBrZ=cc+∑i=1rαiggi=⟨cc,G⟩=cc⊕GBBr
其中, −1≤αi≤1−1≤αi≤1, 超立方体 BBr=[−1,+1]rBBr=[−1,+1]r, cccc ∈∈ RnRn 为 ZZ 的
中心, 向量 gg1,gg2,⋯,ggrgg1,gg2,⋯,ggr 为 ZZ 的生成
器, G={gg1,gg2,⋯,ggr}∈Rn×rG={gg1,gg2,⋯,ggr}∈Rn×r 为 ZZ 的生成器矩阵.
全对称多胞形满足如下基本计算规则:
⟨cc1,G1⟩⊕⟨cc2,G2⟩=⟨cc1+cc2,[G1 G2]⟩⟨cc1,G1⟩⊕⟨cc2,G2⟩=⟨cc1+cc2,[G1 G2]⟩
M⊗⟨cc,G⟩=⟨Mcc,MG⟩M⊗⟨cc,G⟩=⟨Mcc,MG⟩
Frobenius 半径可以作为衡量全对称多胞形大小的指标, 一般由生成矩阵 GG 的
Frobenius 范数表示:
JF=tr(GTG)−−−−−−−√=tr(GGT)−−−−−−−√JF=tr(GTG)=tr(GGT)
由式(5)可知, 随着时间的推移, 全对称多胞形的阶数会不断增加, 最终无法计算, 为
此, 需要对全对称多胞形的生成矩阵的维数加以限制.
引理 1
[28]
.全对称多胞形可以由一个最小的盒子包含
Z⊂□Z=cc⊕rs(G)BBrZ⊂◻Z=cc⊕rs(G)BBr