数值计算B作业：三次多项式插值与最小二乘法应用

本文档是一份数值计算B大作业，主要涉及的主题是多项式插值和最小二乘法在气象观测中的应用。作业要求学生针对一个气象观测站的数据，使用三次多项式插值函数（Newton法）来逼近温度变化趋势。观测数据给出了每10分钟的温度测量值，从8:00 AM到55分钟，共计12个数据点，坐标表示为(x, y)，其中x是时间（以分钟为单位），y是对应的温度（单位为毫开尔文，转换成十进制后乘以10^-4）。 在数学原理部分，提到三种衡量误差的方法：1）∞-范数，即误差向量的最大绝对值；2）1-范数，即误差绝对值的和；3）2-范数，即误差平方和的算术平方根。最小二乘法选择2-范数的平方作为误差度量，因为这方便进行微分运算，且在拟合过程中更常用。该方法的目标是找到一个函数，使得所有数据点到该函数的垂直距离（误差）的平方和最小。 具体操作步骤包括使用Matlab的`polyfit`函数，输入数据点x和y，以及多项式的阶数（这里是2次多项式），以求得拟合系数。在提供的代码片段中，学生得到了拟合多项式p = (-0.0024x^2 + 0.2037x + 0.2305) * 10^-4。这个函数表示了在9:30（x=10）时的温度预测。 最后，作业要求学生分析和讨论拟合结果。这可能包括评估拟合曲线与实际观测数据的吻合程度，以及讨论选择2次多项式是否合适，是否有更高的阶数或不同类型的函数能提供更好的拟合效果。此外，还可能涉及到误差分析，比如残差（实际值与拟合值之差）以及这些误差对于预测精度的影响。 总结来说，这份作业涵盖了多项式插值的基本概念，最小二乘法的实际应用，以及如何通过编程工具如Matlab进行数据处理和模型建立，以及对模型结果的评估和优化。这对于理解数值计算中的数据拟合和误差控制具有重要意义。