数值计算B作业:三次多项式插值与最小二乘法应用
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本文档是一份数值计算B大作业,主要涉及的主题是多项式插值和最小二乘法在气象观测中的应用。作业要求学生针对一个气象观测站的数据,使用三次多项式插值函数(Newton法)来逼近温度变化趋势。观测数据给出了每10分钟的温度测量值,从8:00 AM到55分钟,共计12个数据点,坐标表示为(x, y),其中x是时间(以分钟为单位),y是对应的温度(单位为毫开尔文,转换成十进制后乘以10^-4)。 在数学原理部分,提到三种衡量误差的方法:1)∞-范数,即误差向量的最大绝对值;2)1-范数,即误差绝对值的和;3)2-范数,即误差平方和的算术平方根。最小二乘法选择2-范数的平方作为误差度量,因为这方便进行微分运算,且在拟合过程中更常用。该方法的目标是找到一个函数,使得所有数据点到该函数的垂直距离(误差)的平方和最小。 具体操作步骤包括使用Matlab的`polyfit`函数,输入数据点x和y,以及多项式的阶数(这里是2次多项式),以求得拟合系数。在提供的代码片段中,学生得到了拟合多项式p = (-0.0024x^2 + 0.2037x + 0.2305) * 10^-4。这个函数表示了在9:30(x=10)时的温度预测。 最后,作业要求学生分析和讨论拟合结果。这可能包括评估拟合曲线与实际观测数据的吻合程度,以及讨论选择2次多项式是否合适,是否有更高的阶数或不同类型的函数能提供更好的拟合效果。此外,还可能涉及到误差分析,比如残差(实际值与拟合值之差)以及这些误差对于预测精度的影响。 总结来说,这份作业涵盖了多项式插值的基本概念,最小二乘法的实际应用,以及如何通过编程工具如Matlab进行数据处理和模型建立,以及对模型结果的评估和优化。这对于理解数值计算中的数据拟合和误差控制具有重要意义。
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