MATLAB实现牛顿插值法

"这篇文档是关于使用MATLAB实现牛顿插值法的程序设计作业，由刘川、汤意和王功贺三位同学完成。该作业介绍了牛顿插值法的基本概念、算法分析以及MATLAB编程实现的步骤。" 牛顿插值法是一种数值分析中的插值方法，用于通过已知的一系列离散点来构造一个多项式函数，使得这个函数在这些点上的值与原始数据完全匹配。这种方法特别适用于需要估计未知点处函数值的情况，尤其是在数据点间存在某种规律性的场景。 在牛顿插值法中，插值多项式通常表示为： \[ P_n(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + ... + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n \] 这里的 \( f^{(i)}(x_0) \) 表示函数在点 \( x_0 \) 的 \( i \) 阶导数，\( n \) 是数据点的数量。每个 \( c_i \) 系数可以通过计算 \( i \) 阶差商来得到，差商定义为： \[ Q_i^j = \frac{f[x_{j+1},x_{j+2},\ldots,x_{j+i}] - f[x_{j},x_{j+1},\ldots,x_{j+i-1}]}{(x_{j+i}-x_j)\cdots(x_{j+1}-x_j)} \] 对于牛顿插值法的MATLAB实现，程序通常分为以下步骤： 1. 计算差商 \( Q_i^j \)，这是构建插值多项式的基础。 2. 根据计算出的差商，构建 \( n \) 个不同的多项式，每个多项式对应于 \( f(x) \) 在一个特定点的导数。 3. 将这 \( n \) 个多项式相加，得到最终的牛顿插值多项式 \( P_n(x) \)。 4. 使用得到的插值多项式，可以估算任何 \( t \) 处的 \( f(t) \) 值。 5. 可选地，绘制插值多项式在插值节点附近的函数图像，以便直观地验证插值效果。 在给出的MATLAB代码片段中，`newTon` 函数接受三个参数：`x` 和 `y` 分别表示已知的点的横坐标和纵坐标向量，而 `t` 是需要估计的点。函数返回两个输出，`p2` 是牛顿插值多项式，`z` 是在点 `t` 上多项式的值。代码中的循环结构用于计算差商和构建插值多项式。 牛顿插值法相比于拉格朗日插值法，具有计算效率更高的优势，因为它只需要在增加或减少插值节点时更新有限数量的差商，而不是重新计算所有插值基函数。然而，牛顿插值法在处理数据分布不均匀或者有噪声的情况下可能会导致较大的误差，此时可能需要考虑使用其他插值方法，如样条插值。