机器学习驱动的非侵入式非线性模型降阶方法
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更新于2024-07-06
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"本文主要探讨了一种新颖的非侵入式非线性模型降阶方法，名为"基于低维算子机器学习逼近的非侵入式非线性模型降阶"（Non-intrusive Nonlinear Model Reduction via Machine Learning Approximations to Low-dimensional Operators）。该研究针对参数化非线性动力系统中的投影型简化模型（Reduced-Order Models, ROMs）存在的侵入性问题提出了解决方案。
传统上，为了构建和应用ROMs，研究人员需要对基础仿真代码进行显著修改，这在实际操作中往往限制了其广泛采用。然而，作者提出了一种创新的策略，即利用现代机器学习技术，特别是回归算法，来非侵入性地逼近ROM中与投影相关的低维运算。这种方法的主要思想是将模拟代码仅需提供给定状态和参数下的速度这一功能，这个功能被用于训练和构建近似低维算子的模型。换句话说，通过机器学习的中介，无需深入仿真核心，就能实现对简化模型的高效、准确估算。
具体来说，该方法包括以下步骤：
1. 数据采集：首先，从原始仿真代码中获取一组参数值和对应的系统行为数据，即状态和速度数据对。
2. 特征工程：提取关键的系统特征，这些特征可能包含状态变量、参数以及它们之间的组合，作为机器学习模型的输入。
3. 模型训练：利用机器学习算法（如神经网络、支持向量机或随机森林等），训练一个模型来预测低维算子的行为，这些算子决定了ROM的动态特性。
4. 模型验证与优化：评估模型的性能，并根据需要调整模型结构和参数，以提高逼近精度。
5. 非侵入式应用：在实际应用中，只需提供当前的状态和参数，机器学习模型就能快速返回近似的低维算子结果，从而驱动简化后的仿真。
这种方法的优势在于提高了模型构建的灵活性，降低了对原代码的依赖，使得不同领域的研究人员能够更容易地集成和扩展现有的ROMs。此外，随着机器学习技术的发展，这种方法的逼近能力有望进一步增强，使得非侵入式非线性模型降阶成为一种更具吸引力的工程实践工具。"
Non-intrusive Nonlinear Model Reduction via Machine Learning Approximations to Low-dimensional Operators
3.3 Error analysis
Assuming the considered regression model generates bounded in reduced space, we examine the boundedness of
the surrogate FOM on the time evolution of the states along the trajectory. Let
J
t
= [0, T ]
denote the time domain,
J
µ
⊂ R
p
be a compact space of
µ
,
x : J
t
→ R
n
denote the state variable, and
f(x, t; µ)
be the vector field. Let
f
r
(
ˆ
y, t; µ) = f (V
ˆ
y, t; µ)
represent the Galerkin reduced vector field. Let
ˆ
x(t)
denote an approximate reduced vector
field constructed by a machine learning method and
ˆ
f
r
(
ˆ
x, t; µ) be the corresponding vector field.
The error of the reduced model can be defined as
e(t) :=
ˆ
x(t) − x(t)
. Let
P = V V
∗
. Let
e
o
(t) := (I
n
− P )e(t)
,
which denotes the error component orthogonal to range(
V
), and
e
i
(t) := P e(t)
, which denotes the component of error
parallel to range(V ). Let ˜x := P x denote the direct projection of x. Thus, we have
e
o
(t) = ˜x(t) − x(t). (13)
However, since the system is evolutionary with time, further approximations of the projection-based reduced model
result in an additional error e
i
(t), and we have
e
i
(t) = V
ˆ
x(t) − ˜x(t). (14)
Although e
i
(t) and e
o
(t) are orthogonal to each other, they are not independent.
lemma
Consider the dynamical system as Equation (1) over the interval
t ∈ J
and
µ ∈ J
µ
. Suppose
f(x, t; µ)
is a
uniformly Lipschitz function of
x
with constant
K
and a continuous function of
t
for all
(x, t, µ) ∈ B
b
(x
0
) × J
t
× J
µ
.
Suppose
ˆ
f
r
(
ˆ
x, t; µ)
is a uniformly Lipschitz function of
ˆ
x
and a continuous function of
t
for all
(x, t; µ) ∈ B
b
(x
0
) ×
J
t
× J
µ
. Suppose the data-driven approximation satisfies
k
ˆ
f
r
(
ˆ
x, t; µ) − V
∗
f(V
ˆ
x, t; µ)k ≤ C
for all
(
ˆ
x, t, µ) ∈
B
b
(
ˆ
x(×
0
)) × J
t
× J
µ
. Then the error e(t) =
ˆ
x(t) − x(t) in the infinity norm for the interval J
t
is bounded by
kek
∞
≤ e
KT
ke
o
k
∞
+ e
KT
ke
i
(0)k +
C
K
(e
KT
− 1) (15)
proof: For notation simplification, we fix µ and do not explicitly denote it in vector fields.
Substituting Equation (1) and (9) into the differentiation of e
o
(t) + e
i
(t) = V
ˆ
x(t) − x(t) yields
˙
e
o
+
˙
e
i
= V
ˆ
f
r
(
ˆ
x, t) − f(x, t). (16)
Left multiplying (16) by P and recognizing that P V = V gives
˙
e
i
(t) = V
ˆ
f
r
(
ˆ
x, t) − P f (x, t)
= V
ˆ
f
r
(
ˆ
x, t) − P f (V
ˆ
x, t) + P f (V
ˆ
x, t) − P f (x + e
o
, t) + P f (x + e
o
, t) − P f (x, t)
= V (
ˆ
f
r
(
ˆ
x, t) − V
∗
f(V
ˆ
x, t)) + P (f (x + e
o
+ e
i
, t) − f(x + e
o
, t))
+ P (f (x + e
o
, t) − f(x, t))
Using this equation by expanding ke
i
(x + h)k and applying triangular inequality yields
ke
i
(t + h)k = ke
i
(t) + h
˙
e
i
(t)k + O(h
2
)
≤ ke
i
(t)k + khV (
ˆ
f
r
(
ˆ
x, t) − V
∗
f(V
ˆ
x, t))k + khP (f (x + e
o
+ e
i
, t)
− f(x + e
o
, t))k + khP (f (x + e
o
, t) − f(x, t))k + O(h
2
)
≤ ke
i
(t)k + hkV k · k
ˆ
f
r
(t,
ˆ
x) − V
∗
f(V
ˆ
x, t)k + hkP k · kf (x + e
o
+ e
i
, t)
− f(x + e
o
, t)k + hkP k · kf (x + e
o
, t) − f(x, t)k + O(h
2
).
Using kV k = kP k = 1 and k
ˆ
f
r
(t,
ˆ
x) − V
∗
f(t, V
ˆ
x)k ≤ C, the last inequality gives
ke
i
(t + h)k ≤ ke
i
(t)k + hC + hkf (x + e
o
+ e
i
, t) − f(x, +e
o
, t)k
+ hkf(x + e
o
, t) − f(x, t)k + O(h
2
).
Rearranging this inequality and applying the Lipschitz conditions gives
ke
i
(t + h)k − ke
i
(t)k
h
≤ Kke
i
(t)k + Kke
o
(t)k + C + O(h).
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