三维空间坐标变换：简单构造方法与几何变换解析

"这篇文档主要介绍了三维坐标变换的构造方法，包括平移、比例和绕坐标轴的旋转变换。在三维空间中，通过变换矩阵可以实现不同坐标系统的转换，使得物体的描述能够在不同的坐标系统间一致。" 在三维图形处理中，坐标变换是一个关键的概念，用于将物体在空间中的位置从一个坐标系统转换到另一个坐标系统。这个过程通常分为两步：首先进行平移，将原坐标系统的原点移动到新坐标系统的原点；然后执行一系列旋转变换，使得坐标轴相互对齐。 三维变换与二维变换有相似之处，但也存在差异。例如，三维空间的旋转变换更为复杂，因为可以选择任意方向作为旋转轴。为了方便描述这些变换，我们通常采用齐次坐标，这允许4×4的变换矩阵来表示三维空间中的点和变换。通过矩阵乘法，可以一次性完成多个变换。 7.2.1 基本三维几何变换主要包括： 1. **平移变换**：当空间平移量为(tx, ty, tz)时，平移变换矩阵由4×4单位矩阵加上一个平移向量(t tz ty tx 0 0 0 1)组成。这种变换不影响点的坐标形式，只是将所有点沿给定的向量平移。 2. **比例变换**：比例变换分为两种情况。一是相对于坐标原点的比例变换，变换矩阵为(s 0 0 0 0 s 0 0 0 0 s 0 0 0 0 1)，其中s是比例因子。二是相对于固定点的比例变换，这需要先平移到固定点，然后进行比例，最后再平移回来。 3. **绕坐标轴的旋转变换**：在三维空间中，绕x、y、z轴的旋转分别涉及不同的旋转矩阵。例如，绕z轴的旋转可以通过一个3×3的旋转矩阵表示，该矩阵包含余弦和正弦函数，根据旋转角度θ计算得到。 除此之外，还有更复杂的旋转，如绕任意轴的旋转，这通常通过Rodrigues公式或四元数来实现。这些方法能够处理非正交坐标轴和复合旋转。 通过理解并掌握这些基本的三维坐标变换，我们可以有效地在计算机图形学中创建、定位和操纵三维对象，这对于游戏开发、虚拟现实、工程建模等领域至关重要。在实际应用中，常常需要组合使用这些变换，以便实现更复杂的操作，如缩放、倾斜和旋转等，这些都是构建三维场景的基础。