聚类分析：基于距离的分类方法

"这篇资料主要讨论了聚类分析在度量距离远近中的应用，特别是在统计学中的分类问题。文中提到了如何根据多个指标对学生进行分类，并介绍了在高维空间中衡量距离的方法。此外，还提及了R型聚类和Q型聚类的区别以及在饮料数据集上的实例。" 聚类分析是一种无监督学习方法，用于发现数据集中的内在结构，将相似的数据分组到一起，形成所谓的“簇”或类别。在这个过程中，度量数据点之间的距离或相似性是至关重要的。 1. 距离度量: 距离是衡量两个数据点之间差异的基础。在二维或一维空间中，我们可以直观地理解距离，例如欧氏距离。欧氏距离是两点之间直线的长度，公式为 sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)，对于多维情况，这个公式可以扩展到更多的维度。然而，除了欧氏距离外，还有其他距离度量，如曼哈顿距离（L1距离）和切比雪夫距离（L∞距离），以及用于非数值数据的Jaccard相似度、余弦相似度等。 2. 高维空间: 当数据点位于三维或更高维度时，我们无法直接可视化，但仍可以根据各个维度的值计算距离。在饮料数据集中，每个样本有四个特征（热量、咖啡因、钠含量和价格），这就构成了四维空间中的点。 3. R型和Q型聚类: R型聚类是对变量进行分类，而Q型聚类是对观测值（样本）进行分类。在数学上，两者并无本质区别，但在实际应用中，选择哪种聚类取决于问题的具体需求。 4. 类间距离: 当聚类不只包含一个点时，我们需要定义类与类之间的距离。常用的类间距离计算方法包括最短距离（两类最近点的距离）、最长距离（两类最远点的距离）以及中心距离（两类中心点之间的距离）。不同的距离计算方法可能导致不同的聚类结果。 5. 相似性与距离: 相似性是与距离相对的概念，通常用相似度函数表示，如余弦相似度。当两个点越相似，它们的相似度越高，相应地，它们之间的距离就越短。 在进行聚类分析时，选择合适的距离度量和类间距离计算方法至关重要，这直接影响到最终的聚类结果。统计软件通常提供多种选项供用户选择，但不同的选择可能对结果产生显著影响。因此，在实际操作中，需要根据具体问题和数据特性进行选择和调整。