线性模型推导：从标准回归到Ridge与Lasso

"本文主要介绍了线性模型的推导，包括标准线性回归、Ridge回归和Lasso回归。文章详细阐述了这三个方法的核心公式、优缺点以及它们如何解决线性模型面临的问题。" 线性模型是机器学习中最基础且广泛应用的模型之一，主要用以建立变量间的线性关系。在本文中，首先介绍了标准线性回归，其目标是最小化均方误差（Mean Squared Error, MSE），也就是预测值与真实值之差的平方的平均值。通过将MSE向量化，可以得到梯度，并通过求导找到最小化误差的参数w。然而，标准线性回归存在一个问题，即当特征数超过样本数时，特征矩阵XX的转置不一定是满秩的，导致无法求解线性模型。 为了解决这个问题，Ridge回归引入了正则化，也称为L2正则化。在MSE的基础上，添加了权重w的L2范数作为罚项，即||w||^2。这样，优化的目标变为最小化带正则项的MSE，通过求导找到极值点，可以得到权重w的更新公式，其中λ是正则化强度参数，控制模型复杂度。Ridge回归通过控制权重的大小，防止模型过拟合，特别是在特征过多的情况下。 接着，文章提到了Lasso回归，它采用了L1正则化。与Ridge不同，L1正则化会使得一部分权重变为0，这一特性使得Lasso回归具有特征选择的能力，即稀疏性。Lasso回归在保持模型简单的同时，能有效地减少不必要的特征，提高模型的解释性。 线性模型，如Ridge和Lasso回归，对于处理线性关系的数据非常有效，但在面对非线性问题时可能表现不佳，容易出现欠拟合。为了克服这个限制，通常需要结合其他方法，如多项式回归、核方法或神经网络等，来捕捉更复杂的模式。同时，使用这些正则化技术前，对特征进行标准化是必要的，以便于模型的优化过程。 线性模型推导涉及了从基本的线性回归到正则化的高级概念，如Ridge和Lasso回归。这些方法不仅提供了模型预测能力，还通过正则化控制了模型复杂度，提高了泛化性能，是机器学习中不可或缺的一部分。理解并掌握这些概念对于构建稳健的预测模型至关重要。