并行计算Jacobi矩阵特征值：Sturm法与牛顿法结合

" Jacobi矩阵特征值的并行算法通过结合Sturm序列法和牛顿法，旨在高效解决实三对角矩阵的特征值问题。该算法特别关注处理机负载平衡，以提高并行计算的效率。 在并行计算领域，特征值问题是一个核心问题，特别是在数学、工程和科学计算中。Jacobi矩阵，以其特殊的三对角形式，经常出现在离散化问题中，如线性代数和数值分析。传统的解法，如QR法、分而治之法、分裂合并法和Sturm序列法，各有优缺点。本文提出的并行算法主要针对Jacobi矩阵，利用Sturm序列法将特征多项式的根隔离到单根区间，然后通过二分法初步定位，再用牛顿法进行精确求解。 Sturm序列法是一种用于确定实系数多项式根个数和位置的工具，通过对多项式的连续差异构造序列，可以判断区间内根的个数。在找到单根区间后，二分法被用来快速缩小根的搜索范围，降低计算复杂度。接着，牛顿法利用迭代公式，通过不断逼近来找到特征值的精确值，这是一种非常有效的数值方法，尤其在已接近根的初始估计值下。 为了实现并行计算中的负载平衡，算法将求根区间等分为多个部分，这些部分按照循环分配给不同的处理机。每个处理机独立处理分配给它的区间，无需与其他处理机通信。这种设计确保了处理机的工作量大致相等，从而提高了整体并行效率。根据描述，算法的并行效率可以达到0.85以上，显示出良好的性能。 数值算例进一步验证了该并行算法的高效性。在处理大型三对角矩阵时，尤其是在分布式计算环境中，这种负载平衡策略对于解决特征值问题至关重要，因为它能有效减少计算时间，提高系统资源的利用率。 该并行算法为Jacobi矩阵的特征值计算提供了一种新的、高效的解决方案，兼顾了计算精度和并行计算的效率，对于处理大规模计算任务具有重要意义。" 关键词: Jacobi矩阵，Sturm法，牛顿法，并行算法，负载平衡，并行效率