整数可除性与数论基础

"数论算法讲义 1章(整数的可除性)" 数论算法是数学的一个重要分支，主要研究整数之间的关系及其性质。本讲义专注于整数的可除性，这是数论的基础概念之一。在整数的可除性中，我们关注整数如何能被其他整数整除，以及由此衍生出的一些核心概念。 1. 整除性 整除性是数论的基本概念，指的是一个整数a可以被另一个整数b整除，即存在整数q使得a = bq。记作b│a，表示b是a的因数，而a是b的倍数。同时，b的相反数－b也是a的因数，因为a = (－b)(－q)。例如，6可以被1、2、3、6整除，因此这些数字都是6的因数。 2. 公因子与最大公因子 公因子是指两个或多个整数共有的因数。最大公因子（Greatest Common Divisor, GCD）是这些整数中最大的公因子。例如，12和18的公因子有1、2、3，其中最大公因子是6。 3. 辗转相除法（欧几里得除法） 欧几里得除法，也称为辗转相除法，是一种求两个正整数最大公因子的有效方法。通过不断用较大的数除以较小的数，然后用余数替换较大数，重复此过程，直到余数为0。最后一个非零余数的除数就是最大公因子。 4. 算术基本定理 算术基本定理是数论中的核心定理，它指出每个正整数都可以唯一地表示为素数的乘积，如果不考虑素数的顺序。这个定理是理解整数分解质因数的关键，对密码学等领域有着重要应用。 5. 性质与证明 讲义中还涵盖了整除性的多个性质，如整除性可以传递（如果b│a且a│c，则b│c）、整除性与乘法的关系（如果b│a且c│d，则bc│ad），以及最大公因子的性质等。通过举例和证明，帮助读者理解和掌握这些概念。 例如，例1.1.2证明了如果m│n且n│m，则m = ±n。通过整除性定义和推导，可以得出结论。例1.1.3和例1.1.4进一步展示了如何利用整除性和性质解决实际问题。 通过学习这部分内容，读者将能够理解并运用整数的可除性进行数论问题的分析和解决，为进一步探索更复杂的数论概念打下坚实基础。