三分康托集的二维交集维数研究

本文主要探讨了三分康托集（Cantor ternary set）在平面几何中的一个特性，即其与两个平移集合（C+t）和（C+s）的交集维度问题。康托集是一种著名的自相似集合，由无限递归的分形构造过程形成，每个点都是通过将初始区间等分为三部分，然后丢弃中间的部分来构造的。 首先，作者关注的是交集C∩(C+t)∩(C+s)的非空条件，这是一个关于平移参数(t, s)的问题。作者证明了一个重要的结果，即对于平面中的几乎每一个点对(t, s)，当C与它的两个平移版本的交集非空时，这个交集的Hausdorff维数(dimH C∩(C+t)∩(C+s))实际上是零。Hausdorff维数是衡量集合在不同尺度上分布密度的一种度量，零维表示该集合在任何小尺度下都呈现出离散的点状分布，没有“体积”。 进一步，作者利用Moran集的相关结论来深入研究这一维数表达式的具体形式。Moran集是另一个重要的自相似集合，它与三分康托集有类似的构造特征。通过Moran集的研究，可以推导出一个关于(t, s)的表达式，这个表达式提供了计算交集维数的理论框架。 关键词包括“三分康托集”、“交集”、“端点”以及“莫朗集”，这些词汇反映了文章的核心内容和研究对象。整个研究工作结合了自相似集的性质、几何维度理论以及Moran集的特性，为理解这类复杂几何结构的维数行为提供了新的洞察。 论文的引入部分简要概述了康托集的基本构造和IFS（迭代函数系统），然后引出交集维数的具体讨论。通过对三分康托集的深入分析，作者展示了如何将这种自相似性质转化为几何上的维度计算，并通过Moran集的辅助，给出了一个对于大部分(t, s)的精确结果。 这篇文章不仅展示了对三分康托集内在结构的理解，还展示了如何运用数学工具如Hausdorff维数和Moran集来处理此类问题，这对于数学分析和几何学领域的研究者来说具有较高的理论价值和实际应用价值。