参数表示与几何不变性：计算机图形学中的曲线曲面设计

本章节深入探讨了计算机图形学中的关键概念，特别是针对三位对象表示中的对称性、凸包性、几何不变性以及变差减少性的理解。首先，对称性是图形设计中的一个重要特性，它使得对象在不同的方向上保持相同的外观。例如，三维物体可能具有旋转对称性，即围绕某个轴旋转后看起来不变。 凸包性则涉及到图形的边界完整性，即寻找包围图形的最小封闭区域，这对于确定图形的物理特性、碰撞检测以及算法效率至关重要。通过确保图形的凸包性，可以简化计算并避免内部空洞的存在。 几何不变性强调的是图形在变换（如缩放、旋转、平移）下仍能保持其基本形状和结构，这对于设计者来说极其重要，因为这确保了模型在不同场景下的精确表示。变差减少性通常用于描述算法在逼近或插值过程中降低误差的过程，目标是提高图形的精度和视觉一致性。 8.1节详细讨论了曲线和曲面的数学描述，包括弗格森双三次曲面片和孔斯双三次曲面片等经典方法，以及样条方法（如Bezier和B样条）的演变，这些都是构建光滑曲线和曲面的基础工具。这些方法强调了参数表示的重要性，如参数的唯一性、几何不变性、易于定界等，使得图形表示更具直观性和灵活性。 参数表示允许通过参数t的变化来控制曲线或曲面的形状，如点动成线，斜率的可控制性，以及参数变换的便利性。样条技术在曲线曲面拟合和逼近中扮演着核心角色，它既能在给定型值点之间精确插值，也能在控制点上生成形状，同时保持连续性条件，如在每段边界处的特定连续性要求。 总结来说，本章内容涵盖了从曲线和曲面的基本理论到实际应用，涉及了一系列关键的技术和概念，对于计算机图形学中的对象表示、设计方法和算法实现有着深远的影响。掌握这些知识对于理解和创建复杂的三维图形至关重要。