无网格方法求解曲面偏微分方程的比较研究

"这篇博士学位论文深入探讨了曲面上偏微分方程(PDE)的无网格求解方法，包括广义移动最小二乘法(GMLS)和径向基函数有限差分(RBF-FD)。这两种方法在处理复杂的几何形状和不规则数据时表现出色，且不需要传统的网格构造，使得它们在解决科学和工程领域的表面PDE问题时具有优势。论文通过对比分析了GMLS和RBF-FD在球面和圆环上近似表面梯度、发散度和拉普拉斯算子的收敛性，以及参数变化对收敛率的影响。此外，还评估了两者在计算效率和总体精度上的表现。该研究由Andrew Michael Jones完成，并于2022年10月22日在Boise State University进行了最终的口头答辩并通过了评审。" 这篇论文详细介绍了无网格方法在解决曲面偏微分方程中的应用，尤其是针对那些在实际应用中广泛出现的PDE。无网格方法的灵活性使其适用于各种复杂的几何结构，比如由点云数据定义的表面，而无需预先建立网格，这大大简化了数值求解过程。论文主要关注了两种主流的无网格技术： 1. 广义移动最小二乘法(GMLS)：这是一种基于局部多项式拟合的方法，能够适应非均匀和不规则的数据分布。它通过最小化误差平方和来近似偏微分方程的解，从而提供较高的精度。 2. 径向基函数有限差分(RBF-FD)：这种方法利用径向基函数进行插值，然后通过差分操作来近似偏导数。RBF-FD对于处理非结构化数据集特别有效，并且可以在保持高精度的同时，保持较低的计算复杂性。 论文的核心内容是对这两种方法的性能和精度进行了系统的比较。通过增加离散化分辨率，研究了它们在近似表面梯度、发散度和拉普拉斯算子时的收敛行为，以了解这些方法在不同参数设置下的表现。此外，还评估了每种方法在计算成本和总体准确性的平衡，这对于选择适合特定问题的求解策略至关重要。 通过Andrew Michael Jones的博士学位研究，读者可以深入了解无网格方法在曲面PDE求解中的潜力和限制，为未来的研究和实际应用提供了有价值的参考。这篇论文不仅提供了理论分析，还包含了实际计算结果，有助于进一步推动无网格方法在科学计算领域的应用和发展。