动态规划解最大连续子序列和

"该资源是一篇关于动态规划基础的教程，特别关注于寻找数组中最大连续子序列和的问题。" 动态规划是一种强大的算法设计技术，主要用于解决多阶段决策问题和最优值问题，如统计方案总数或者寻找最大值或最小值。在本教程中，它被用来解决一个经典的例子——找到一个整数数组中的最大连续子序列和。 问题描述如下：给定一个长度为n（n<10000）的整数数组，其中每个元素的值范围在-3000到3000之间，任务是找出这个数组中的最大连续子序列的和。例如，对于输入序列[-6, 4, -1, 3, 2, -3, 2]，最大连续子序列和是8（对应子序列[4, -1, 3, 2]）。 首先，动态规划不是特定的算法，而是一种解决问题的方法。与传统的搜索或数值计算方法不同，它没有标准的数学表达式，需要根据具体问题进行分析和建模。通过分析和讨论各种动态规划问题，我们可以逐渐掌握这种设计策略。 以斐波那契数列为例，动态规划可以提高效率。递归形式的斐波那契数列计算会导致大量的重复计算，比如计算fib(n)时会重复计算fib(k-2)和fib(k-1)，这在n较大时会导致超时。为了优化，可以引入记忆化搜索（也称为自底向上的动态规划），将先前计算的结果存储起来，避免重复计算。在示例代码中，用c数组记录每个fib(k)的计算次数，从而实现记忆化。 记忆化搜索的代码如下： ```cpp #include<cstdio> const int maxn = 52; int n, c[maxn]; int fib(int k) { if (k <= 2) return 1; if (c[k] > 0) return c[k]; c[k] = fib(k - 2) + fib(k - 1); return c[k]; } int main() { scanf("%d", &n); printf("%d\n", fib(n)); for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d:%d\n", i, c[i]); return 0; } ``` 这段代码中，当计算fib(k)时，先检查c[k]是否已计算过，如果已计算则直接返回结果，否则进行计算并存储结果。 在解决最大连续子序列和的问题中，可以使用类似的方法，定义一个数组dp来存储到某个位置的最大子序列和。通过遍历整个数组，更新dp数组，最终dp数组的最后一个元素即为最大连续子序列和。这个问题也被称为“ Kadane's Algorithm ”。 动态规划的核心在于识别问题的状态、状态转移方程，并利用记忆化或递推来避免重复计算，从而有效地解决问题。通过理解和实践，我们可以掌握动态规划的技巧，解决更复杂的问题。