计算机图形学基础：图形变换与齐次坐标

"本章介绍了计算机图形学中的图形变换，主要关注几何变换，包括平移、旋转和比例变换。齐次坐标表示法被用来简洁地描述这些变换，它通过增加一个额外的维度来实现。此外，还提到了显示变换如投影变换和视窗变换，并阐述了图形变换的重要性和作用，如联系用户坐标系与设备坐标系，以及简化复杂图形的生成。" 在计算机图形学中，齐次坐标表示法是一种关键的概念，它允许我们用n+1维的向量表示n维空间中的几何对象。通常，一个n维向量(P1, P2, ..., Pn)可以通过附加一个额外的坐标h，变为(hP1, hP2, ..., hPn, h)。这个额外的坐标h被称为哑坐标，它可以是任意非零实数，其主要作用在于使得线性变换的表达更为简洁，并且方便进行矩阵运算。 图形变换是图形学的基础，主要包括几何变换和显示变换。几何变换涉及图形在直角坐标系中的平移、旋转和比例变化。平移变换通过向每个坐标轴添加一个常数值来实现，而旋转则是围绕坐标原点按给定角度进行。旋转公式涉及到余弦和正弦函数，可以将点P(x, y)逆时针或顺时针旋转θ角度到新位置P'(x', y')。比例变换则通过改变每个坐标轴的比例因子来放大或缩小图形。 除了基本的几何变换，还有其他类型的变换，如对称变换，包括沿x轴、y轴或坐标原点的对称。这些变换可以通过简单的矩阵操作来实现，例如对x轴对称的变换矩阵为[1 0; -1 1]，对y轴对称的为[-1 0; 0 1]，对坐标原点对称的为[-1 -1; -1 -1]。 图形变换有以下几个重要的特点：它们是线性的，保持图形的属性不变，如颜色和纹理，同时保持拓扑关系不变。变换的主要作用是建立用户坐标系和设备坐标系之间的联系，使图形适应不同的显示环境。此外，图形变换还能用于生成复杂的形状，通过组合简单的图形来表示三维形体，以及实现动态显示效果，如动画。 齐次坐标和图形变换是计算机图形学中的基础工具，它们在处理和显示图形时起着至关重要的作用，不仅简化了数学描述，也使得图形处理更加灵活高效。