李群框架下的多维点集仿射配准算法

"李群框架下多维点集的仿射配准算法研究，通过将期望最大化迭代最近点（EM-ICP）算法与Lie群理论结合，实现更精确、更健壮的点集配准，尤其在处理异常值时表现出优势。" 本文主要探讨了一种基于李群理论的多维点集仿射配准算法，该方法针对两个数据集间的几何变换进行优化。仿射配准是一种常见的几何配准技术，用于寻找最佳的线性变换，包括平移、旋转和缩放，使得一个点集尽可能地匹配另一个点集。在传统的配准方法中，这一过程往往面临计算复杂度高和对异常值敏感的问题。 李群（Lie Group）是一个连续群，它同时具有群结构和拓扑结构，能够描述各种连续变换，包括仿射变换。关键在于，所有仿射变换构成的集合可以视为一个Lie变换组。本文提出的Lie-EM-ICP算法将EM-ICP（期望最大化-迭代最近点）算法嵌入到Lie群的数学框架中，以解决上述问题。 EM-ICP算法通常用于点云配准，通过迭代方式寻找最佳匹配。然而，当数据中存在噪声或异常值时，其性能可能会下降。Lie群的引入提供了一个更稳定且有效的解决方案。在Lie群框架下，通过最小化与仿射变换Lie基团元素相关的能量函数，可以找到最佳的配准。这一过程涉及使用李代数（Lie Algebra），它是Lie群的导数结构，可以用来表示Lie群元素在局部的微小变化。 具体来说，文章采用了李代数的元素，通过指数映射（Exponential Map）来表示Lie群中的元素，特别是接近单位元的元素。指数映射允许在Lie群的局部区域进行参数化，使得在迭代过程中保持变换属于同一Lie群，避免了跳出群的潜在风险。这种方法提高了算法的稳定性，特别是在处理异常值和噪声时。 实验部分对比了Lie-EM-ICP算法与传统Lie-ICP算法，结果显示，新算法在准确性与鲁棒性上都有显著提升。此外，由于Lie群理论的通用性，该算法不仅可以应用于多维点集的仿射配准，还可以推广到其他需要在特定Lie群内进行变换的配准问题。 这项研究提供了一种新的多维点集仿射配准方法，它利用了Lie群理论的固有性质，提升了配准算法的效率和鲁棒性，对于处理实际数据集中的噪声和异常值具有显著优势。未来的研究可能进一步扩展这一框架，应用于更复杂的几何变换或更广泛的领域。