最小二乘法辨识：误差估计与离在线算法

第十四章的主题是“最小二乘法辨识”，主要探讨了单输入-单输出线性定常系统的参数估计问题，特别是在模型结构已知的前提下。这个章节将估计误差和模型辨识分为离线辨识和在线辨识两部分。离线辨识涉及收集观测数据后一次性处理以获得参数估计，而在线辨识则是通过递推计算实时更新参数。 最小二乘法是一种常见的参数估计方法，其基本思想是寻找使观测值与理论预测（如差分方程模型）之间误差平方和最小的参数组合。在单输入-单输出系统中，输入信号\( u_k \)经过系统的动态模型转化为输出\( y_k \)，但实际测量过程中会受到随机干扰\( v_k \)的影响。系统模型可以表示为： \[ x_{k+1} = ax_k + bu_k + v_k \] 通过观测数据，我们试图估计模型参数\( a \)和\( b \)，以及可能存在的测量误差\( w_k \)。估计误差\( e_k \)定义为观测值\( y_k \)与理论输出\( y_k^* \)之间的差，其中\( y_k^* = ax_k + bu_k \)。对于含有测量误差的情况，输入信号会变为\( uk+w_k \)，因此误差模型变为： \[ y_k = ay_k^* + bu_k + w_k + vk \] 在离线辨识中，通过公式(14-3)和(14-4)将观测数据整理成矩阵形式，然后求解参数的最小二乘估计，使得误差向量的平方和最小。而在在线辨识中，参数估计是基于递推的方式进行，不断根据新的观测数据更新估计值。 假设输入信号\( u_k \)满足一定的统计特性，比如是均值为零的独立同分布序列，并且与噪声序列\( v_k \)独立，这有助于我们建立更精确的模型。在这个基础上，最小二乘法辨识不仅适用于水箱液面控制系统等简单系统，还可以扩展到多输入-多输出系统，如导弹稳定系统控制。 总结来说，本章的核心知识点包括最小二乘法的基本原理、模型结构的运用、离线与在线辨识的区别，以及如何处理随机干扰和测量误差对参数估计的影响。通过理解并掌握这些内容，工程师们能够更好地设计和优化控制系统的辨识过程。