动态规划：状态转移方程详解与应用

"这篇文章除了介绍动态规划的基本概念，还通过斐波那契数列和爬楼梯问题两个经典案例详细阐述了动态规划的状态转移方程及其应用。" 动态规划是一种解决复杂问题的有效算法，它通过将大问题分解为一系列小问题来求解。在动态规划中，关键在于找到合适的状态转移方程，这个方程定义了如何从一个状态转移到另一个状态。文章主要讨论了两种常见的动态规划问题：斐波那契数列和爬楼梯问题。 ### 1. 斐波那契数列 斐波那契数列是一个递归数列，每个数是前两个数的和。动态规划在此问题中的应用是通过避免重复计算，提高效率。状态转移方程为 `dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]`，其中 `dp[i]` 表示斐波那契数列的第 `i` 项。在JavaScript实现中，首先定义一个函数 `fibonacci(n)`，它接收一个参数 `n`，表示要计算的斐波那契数的位置。然后，初始化一个数组 `dp` 来存储数列的值，并设置初始条件 `dp[0]` 和 `dp[1]` 为 1。接下来，通过循环计算每个斐波那契数，使用状态转移方程更新数组 `dp` 的值，最后返回 `dp[n]`。 ### 2. 爬楼梯问题 爬楼梯问题同样是动态规划的经典应用，问题在于找出到达楼梯第 `n` 级的不同方法数。在这个问题中，每次可以爬 1 或 2 级楼梯。状态转移方程同样为 `dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]`，其中 `dp[i]` 表示到达第 `i` 级楼梯的方法数。与斐波那契数列的处理方式类似，定义一个函数 `climbStairs(n)`，初始化一个数组 `dp` 并设置初始条件，然后通过循环计算每级楼梯的方法数，最后返回 `dp[n]`。 这两个问题都展示了动态规划的核心思想：通过存储已解决问题的结果，避免重复计算，并使用状态转移方程逐步构建解决方案。动态规划广泛应用于计算机科学的多个领域，包括算法设计、最优化问题、组合数学等，对于前端开发（如Vue.js和JavaScript）来说，理解并掌握动态规划有助于解决复杂的逻辑问题，提高代码效率。