快速确定整系数代数方程根的算法

"这篇论文提出了一种快速无除算法，用于确定整系数无平方、首一的代数方程在给定矩形区域内的根的个数，算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为方程的次数。算法基于Bezout矩阵的惯性和欧几里得算法，具有较高的稳定性。" 这篇2004年的数学研究论文主要关注的是确定代数方程的根在复平面上特定区域的分布问题。作者冯琴荣提出了一种新的快速算法，该算法特别适用于计算整系数且无平方因子、首一的多项式的根。在数学领域，了解方程的根分布对于多项式的稳定性分析至关重要，例如在Routh-Hurwitz问题和Schur-Cohn问题中。 论文的核心是利用Bezout矩阵的惯性和欧几里得算法。Bezout矩阵是由两个多项式u(x)和v(x)的乘积形成的一系列余项构成的矩阵，其惯性（即正负特征值的数目）与方程根的性质紧密相关。在论文中，作者将这个问题转化为计算Bezout矩阵的惯性，并提供了一个算法。然而，早期的算法可能存在不稳定性，因此作者采用了精确的整数运算以提高算法的可靠性。 论文中引用了Hermite的研究，他探讨了代数方程根与实轴的关系。作者结合Hermite的工作和之前的研究，发展出一种新的方法，能够处理任意矩形区域内的根的分布情况。算法的关键在于使用欧几里得算法生成的余项序列，这个序列与Bezout矩阵的惯性和每个商的首系数符号之间有特定关系。 算法的过程如下：首先，对于两个整系数多项式u(x)和v(x)，应用欧几里得算法生成多项式序列rj(x)和qi(x)，它们满足特定的递归关系。这些余项序列与u(x)和v(x)的最大公约数(gcd)相关，即rD(x)。通过分析这些余项和商的特性，可以推断出根在指定区域内的分布。 论文强调了多项式为无平方和首一的重要性，这有助于简化计算并确保算法的正确性。此外，算法的时间复杂度为O(n^2)，表明了它在效率上的优势，尤其对于低次方程，其计算速度较快。 这篇论文为解决代数方程根的定位问题提供了一种新的高效且稳定的方法，不仅适用于根的计数，还可以应用于相关领域的其他问题。其理论和实践意义在于优化了多项式根的计算过程，提高了计算效率，对数学和工程领域的多项式分析具有重要价值。