Lax-Wendroff格式稳定性条件的改进与扩展 (1985)

"该文章讨论了Lax-Wendroff格式的稳定性条件，这是一个用于数值求解偏微分方程的二阶精度差分格式。作者马驷良针对Lax-Wendroff格式提出了改进的稳定性条件，并在特定方程和方程组的情况下进行了分析。" 在1985年的一篇自然科学论文中，作者探讨了Lax-Wendroff格式的稳定性问题。Lax-Wendroff格式是一种用于数值解守恒型偏微分方程的差分方法，其基本思想是通过离散时间和空间变量来近似连续的微分方程。这种格式通常用于解决如流体动力学、热传导等领域的方程。 原始的Lax-Wendroff格式由两个九点差分公式(2)和(3)组成，它们描述了在时间步长`t+h`时刻的解`U`如何通过当前时刻的解`U`来计算。这些公式涉及到导数的近似，其中`A`和`B`是基于`u`的导数矩阵，`D`和`M`是与差分操作相关的矩阵。为了保证数值解的稳定性，必须满足一定的条件。 传统的稳定性条件(5)和(6)是基于矩阵`A2`和`B2`的谱半径`ρ(X)`，要求它们的值小于某个阈值。然而，作者指出可以改进这些条件，如条件(7)，这可能允许更宽的稳定区域。 进一步，作者专注于一个特定的偏微分方程(8)，它包含时间`t`、空间`x`和`y`的导数，以及参数`α`和`b`。对于这个方程，作者证明了格式(2)和(3)的稳定性等价于条件(9)，这个条件涉及到时间步长与空间步长的比例`K1`和`K2`。 此外，作者还扩展了这些结果到线性常系数方程组(4)的情况，给出了条件(10)和(11)，这些条件确保了在解这类方程组时Lax-Wendroff格式的稳定性。这些工作不仅深化了对Lax-Wendroff格式的理解，也为数值模拟提供了更精确的理论基础。 这篇论文揭示了Lax-Wendroff格式在处理不同类型的偏微分方程时的稳定性条件，对于数值计算和科学模拟领域具有重要的理论意义和实际应用价值。通过改进原有的稳定性条件，作者为提高数值解的精度和可靠性提供了新的见解。